Justifique convergência e divergência das seguintes integrais impróprias
as calcule se posivel:
Passo 1
Então, a gente tem aqui uma integral imprópria pra resolver:
. O objetivo é descobrir se essa integral converge (isto é, tem um valor finito) ou diverge (vai pra infinito). Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo sobre integrais impróprias e testes de comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da função
quando
tende ao infinito. Observando os termos do denominador, percebemos que
domina os demais termos. Então, para valores grandes de
, a função se comporta como
.
Passo 3
Sabemos que a integral
converge se
e diverge se
. No nosso caso,
, que é maior que 1. Portanto, a integral
converge.
Passo 4
Agora, como a nossa função
é menor ou igual a
para todo
, podemos usar o Teste da Comparação. Como a integral de referência
converge e nossa função é menor, isso garante que a integral original também converge.
Passo 5
Quanto a calcular o valor exato da integral
, percebemos que a antiderivada dessa função não pode ser expressa facilmente por funções elementares. Portanto, não conseguimos determinar um valor exato usando métodos de integração padrão.
Resposta
A integral
converge, mas não é possível calcular seu valor exato usando funções elementares.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(42)
(42)
Se
for uma função diferenciável e
e
forem constantes, verifique que
satisfaz a equação diferencial
Justifique convergência e divergência e calcule os limites, se possível, das seguintes sequências:
Ache o volume (utilizando coordenadas polares) do sólido interior ao cilindro
, e abaixo do cone
. Faça um esboço do sólido.
Dica: Lembre-se que .
Dica: Lembre-se que