Justifique convergência e divergência das seguintes integrais impróprias as calcule se posivel:

Passo 1

Então, a gente tem aqui uma integral imprópria pra resolver: . O objetivo é descobrir se essa integral converge (isto é, tem um valor finito) ou diverge (vai pra infinito). Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo sobre integrais impróprias e testes de comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função quando tende ao infinito. Observando os termos do denominador, percebemos que domina os demais termos. Então, para valores grandes de , a função se comporta como .

Passo 3

Sabemos que a integral converge se e diverge se . No nosso caso, , que é maior que 1. Portanto, a integral converge.

Passo 4

Agora, como a nossa função é menor ou igual a para todo , podemos usar o Teste da Comparação. Como a integral de referência converge e nossa função é menor, isso garante que a integral original também converge.

Passo 5

Quanto a calcular o valor exato da integral , percebemos que a antiderivada dessa função não pode ser expressa facilmente por funções elementares. Portanto, não conseguimos determinar um valor exato usando métodos de integração padrão.

Resposta

A integral converge, mas não é possível calcular seu valor exato usando funções elementares.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(42)
Se for uma função diferenciável e e forem constantes, verifique que satisfaz a equação diferencial
Justifique convergência e divergência e calcule os limites, se possível, das seguintes sequências:
Ache o volume (utilizando coordenadas polares) do sólido interior ao cilindro , e abaixo do cone . Faça um esboço do sólido.
Dica: Lembre-se que .