Justifique convergência e divergência das seguintes integrais impróprias as calcule se posivel:

Passo 1

Então, a gente tem o seguinte problema: precisamos analisar se a integral imprópria converge ou diverge. Se convergir, a gente também vai calcular o valor dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais impróprias e integrais de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração para facilitar a integração. Observamos que pode ser completado o quadrado. Completar o quadrado significa reescrever uma expressão quadrática na forma .

Passo 3

Completando o quadrado para :
Então, a fração fica:

Passo 4

Agora, reconhecemos que a integral tem a forma de uma integral que envolve a função arctangente. A fórmula básica é:
No nosso caso, , então .

Passo 5

Aplicando a fórmula, temos:
Como a integral é de a , vamos avaliar os limites.

Passo 6

Vamos calcular o limite quando tende a e quando tende a :

Passo 7

A diferença entre esses limites dá o valor da integral:
Isso mostra que a integral converge e seu valor é .

Resposta

A integral imprópria converge e seu valor é .

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Ache o volume (utilizando coordenadas polares) do sólido interior ao cilindro , e abaixo do cone . Faça um esboço do sólido.
Dica: Lembre-se que .
Justifique convergência e divergência e calcule os limites, se possível, das seguintes sequências:
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: e
Justifique convergência e divergência e calcule os limites, se possível, das seguintes sequências: