Justifique convergência e divergência das seguintes integrais impróprias
as calcule se posivel:
Passo 1
Então, a gente tem o seguinte problema: precisamos analisar se a integral imprópria
converge ou diverge. Se convergir, a gente também vai calcular o valor dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais impróprias e integrais de funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração para facilitar a integração. Observamos que
pode ser completado o quadrado. Completar o quadrado significa reescrever uma expressão quadrática na forma
.
Passo 3
Completando o quadrado para
:
Então, a fração fica:
Passo 4
Agora, reconhecemos que a integral
tem a forma de uma integral que envolve a função arctangente. A fórmula básica é:
No nosso caso,
, então
.
Passo 5
Aplicando a fórmula, temos:
Como a integral é de
a
, vamos avaliar os limites.
Passo 6
Vamos calcular o limite quando
tende a
e quando
tende a
:
Passo 7
A diferença entre esses limites dá o valor da integral:
Isso mostra que a integral converge e seu valor é
.
Resposta
A integral imprópria
converge e seu valor é
.
Exercícios relacionados
Ache o volume (utilizando coordenadas polares) do sólido interior ao cilindro
, e abaixo do cone
. Faça um esboço do sólido.
Dica: Lembre-se que .
Dica: Lembre-se que
Justifique convergência e divergência e calcule os limites, se possível, das seguintes sequências:
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Justifique convergência e divergência e calcule os limites, se possível, das seguintes sequências: