Ache o volume (utilizando coordenadas polares) do sólido interior ao cilindro , e abaixo do cone . Faça um esboço do sólido.
Dica: Lembre-se que .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar o volume de um sólido que está dentro de um cilindro dado pela equação , que é um cilindro circular de raio 1, deslocado no eixo . Além disso, esse sólido está abaixo do cone dado por e acima do plano . Vamos usar coordenadas polares porque elas facilitam o trabalho com cilindros e cones. Para isso, precisamos entender como converter as equações para coordenadas polares e calcular integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a equação do cilindro para coordenadas polares. Lembrando que e , a equação do cilindro fica:
Expandindo e simplificando:
Como , temos:
Ignorando (que é apenas o ponto central), temos:
Passo 3
Agora, vamos entender a regi��o de integração. O parâmetro varia de 0 até . Para , observamos que é positivo quando , ou seja, para entre e . Portanto, nosso intervalo para será de 0 a .
Passo 4
O próximo passo é expressar a altura do sólido. Sabemos que está abaixo do cone , que em coordenadas polares fica , e acima de . Então, a altura varia de 0 a .
Passo 5
Agora, vamos montar a integral tripla para calcular o volume. Em coordenadas polares, o elemento de volume é . Assim, a integral fica:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 6
Primeiro, integremos em relação a :
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, integremos em relação a :
Então, a integral fica:
Passo 8
Para resolver , usamos a identidade trigonométrica:
Assim, a integral se torna:
Vamos resolver essas duas integrais separadamente.
Passo 9
A primeira integral é fácil:
Para a segunda integral, fazemos a substituição , então :