Justifique convergência e divergência e calcule os limites, se possível, das seguintes sequências:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a sequência . O assunto aqui é sequências e seus limites, usando funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como as funções seno e cosseno se comportam quando somamos múltiplos de ou , e usar algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Vamos começar analisando cada parte da sequência separadamente. Primeiro, olhe para . Sabemos que o seno tem período , mas quando somamos , onde é um número inteiro, ele alterna o sinal da função. Isso porque:
Então, aplicando isso temos:
E sabemos que , então:

Passo 3

Agora, vamos analisar a parte do cosseno: . O cosseno tem período , então adicionar não muda o valor da função:
Portanto:
E sabemos que .

Passo 4

Agora que simplificamos ambas as partes, vamos juntar elas na expressão original da sequência:

Passo 5

Vimos que, independentemente do valor de , cada termo da sequência é igual a zero. Isso significa que a sequência é constante e, portanto, converge.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: e
Justifique convergência e divergência das seguintes integrais impróprias as calcule se posivel:
Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
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