Justifique convergência e divergência e calcule os limites, se possível, das seguintes sequências:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a sequência
. O assunto aqui é sequências e seus limites, usando funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como as funções seno e cosseno se comportam quando somamos múltiplos de
ou
, e usar algumas identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Vamos começar analisando cada parte da sequência separadamente. Primeiro, olhe para
. Sabemos que o seno tem período
, mas quando somamos
, onde
é um número inteiro, ele alterna o sinal da função. Isso porque:
Então, aplicando isso temos:
E sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, vamos analisar a parte do cosseno:
. O cosseno tem período
, então adicionar
não muda o valor da função:
Portanto:
E sabemos que
.
Passo 4
Agora que simplificamos ambas as partes, vamos juntar elas na expressão original da sequência:
Passo 5
Vimos que, independentemente do valor de
, cada termo da sequência
é igual a zero. Isso significa que a sequência é constante e, portanto, converge.
Resposta
A sequência
converge e seu limite é 0.
Exercícios relacionados
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Justifique convergência e divergência das seguintes integrais impróprias
as calcule se posivel:
Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(45)
(45)