Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo sobre volume de sólidos de rotação. A gente precisa encontrar o volume do sólido formado quando a região delimitada pelas curvas
, pelas retas
,
e
é girada em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos ou das cascas cilíndricas, que são técnicas da matéria de integrais aplicadas a volumes.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que está sendo girada. As curvas são
, que é uma função cúbica, e as retas verticais
e
, além da reta horizontal
.
Passo 3
Como estamos girando em torno do eixo
, é mais fácil usar o método das cascas cilíndricas. Esse método envolve integrar ao longo do eixo
, considerando a altura e a circunferência de cada “casca”.
Passo 4
A fórmula para o volume usando as cascas cilíndricas é:
onde:
-
é a distância do eixo de rotação, -
é a altura da casca, -
e são os limites de integração.
Passo 5
Aqui,
e
(os limites de
). A altura da casca
é a diferença entre a função superior e a inferior na região. A função superior é
e a inferior é
. Então:
Passo 6
Substituindo na fórmula:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo.
Passo 8
Integrando:
Como estamos calculando uma área definida, podemos ignorar a constante
.
Passo 9
Aplicando os limites de 0 a 2:
Passo 10
Multiplicando pelo
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Justifique convergência e divergência das seguintes integrais impróprias
as calcule se posivel:
Ache o volume (utilizando coordenadas polares) do sólido interior ao cilindro
, e abaixo do cone
. Faça um esboço do sólido.
Dica: Lembre-se que .
Dica: Lembre-se que
Justifique convergência e divergência e calcule os limites, se possível, das seguintes sequências:
Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(45)
(45)