Justifique a convergência e, se possível, calcule a soma da série .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para justificarmos a convergência da série e, se der, calcular a soma dessa série. Aqui, vamos usar o **conteúdo de séries geométricas**. Precisamos verificar se cada uma das séries que compõem a nossa série original converge e, se sim, encontrar a soma delas.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a série original em duas séries distintas:
Isso facilita a análise de cada parte individualmente.
Passo 3
Vamos analisar a primeira série: .
Essa é uma **série geométrica**, que tem a forma geral , onde é o primeiro termo e é a razão. Para uma série geométrica convergir, o valor absoluto de deve ser menor que 1 ().
Aqui, identificamos que:
- Primeiro termo
- Razão
Como , essa série **converge**.
Passo 4
Agora, vamos calcular a soma da primeira série usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Substituindo os valores:
Então, a soma da primeira série é **4**.
Passo 5
Vamos agora analisar a segunda série: .
Também é uma **série geométrica**. Identificando os componentes:
- Primeiro termo
- Razão
Como , essa série também **converge**.
Passo 6
Calculando a soma da segunda série com a mesma fórmula:
Substituindo:
Portanto, a soma da segunda série é **2,5**.
Passo 7
Finalmente, vamos combinar as duas somas para encontrar a soma total da série original: