Justifique a convergência e, se possível, calcule a soma da série .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para justificarmos a convergência da série e, se der, calcular a soma dessa série. Aqui, vamos usar o **conteúdo de séries geométricas**. Precisamos verificar se cada uma das séries que compõem a nossa série original converge e, se sim, encontrar a soma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série original em duas séries distintas: Isso facilita a análise de cada parte individualmente.

Passo 3

Vamos analisar a primeira série: . Essa é uma **série geométrica**, que tem a forma geral , onde é o primeiro termo e é a razão. Para uma série geométrica convergir, o valor absoluto de deve ser menor que 1 (). Aqui, identificamos que: - Primeiro termo - Razão Como , essa série **converge**.

Passo 4

Agora, vamos calcular a soma da primeira série usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita: Substituindo os valores: Então, a soma da primeira série é **4**.

Passo 5

Vamos agora analisar a segunda série: . Também é uma **série geométrica**. Identificando os componentes: - Primeiro termo - Razão Como , essa série também **converge**.

Passo 6

Calculando a soma da segunda série com a mesma fórmula: Substituindo: Portanto, a soma da segunda série é **2,5**.

Passo 7

Finalmente, vamos combinar as duas somas para encontrar a soma total da série original:

Resposta

A série converge e a soma é .

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