Justifique a convergência e, se possível, calcule a soma da série
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para justificarmos a convergência da série
e, se der, calcular a soma dessa série. Aqui, vamos usar o conteúdo de séries geométricas. Precisamos verificar se cada uma das séries que compõem a nossa série original converge e, se sim, encontrar a soma delas.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a série original em duas séries distintas:
Isso facilita a análise de cada parte individualmente.
Passo 3
Vamos analisar a primeira série:
.
Essa é uma série geométrica, que tem a forma geral
, onde
é o primeiro termo e
é a razão. Para uma série geométrica convergir, o valor absoluto de
deve ser menor que 1 (
).
Aqui, identificamos que:
- Primeiro termo
- Razão
Como
, essa série converge.
Passo 4
Agora, vamos calcular a soma da primeira série usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Substituindo os valores:
Então, a soma da primeira série é 4.
Passo 5
Vamos agora analisar a segunda série:
.
Também é uma série geométrica. Identificando os componentes:
- Primeiro termo
- Razão
Como
, essa série também converge.
Passo 6
Calculando a soma da segunda série com a mesma fórmula:
Substituindo:
Portanto, a soma da segunda série é 2,5.
Passo 7
Finalmente, vamos combinar as duas somas para encontrar a soma total da série original:
Resposta
A série converge e a soma é
.