Justifique a convergência e, se possível, calcule a soma da série sumn=1^infty(42^n-53^n).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para justificarmos a convergência da série e, se der, calcular a soma dessa série. Aqui, vamos usar o conteúdo de séries geométricas. Precisamos verificar se cada uma das séries que compõem a nossa série original converge e, se sim, encontrar a soma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série original em duas séries distintas:
sumn=1^infty(42^n - 53^n) = sumn=1^infty42^n - sumn=1^infty53^n
Isso facilita a análise de cada parte individualmente.

Passo 3

Vamos analisar a primeira série: .
Essa é uma série geométrica, que tem a forma geral , onde é o primeiro termo e é a razão. Para uma série geométrica convergir, o valor absoluto de deve ser menor que 1 ( ).
Aqui, identificamos que:
  • Primeiro termo
  • Razão
Como , essa série converge.

Passo 4

Agora, vamos calcular a soma da primeira série usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a1 - r
Substituindo os valores:
S1 = 21 - 12 = 212 = 4
Então, a soma da primeira série é 4.

Passo 5

Vamos agora analisar a segunda série: .
Também é uma série geométrica. Identificando os componentes:
  • Primeiro termo
  • Razão
Como , essa série também converge.

Passo 6

Calculando a soma da segunda série com a mesma fórmula:
S = a1 - r
Substituindo:
S2 = 531 - 13 = 5323 = 52 = 2,5
Portanto, a soma da segunda série é 2,5.

Passo 7

Finalmente, vamos combinar as duas somas para encontrar a soma total da série original:
sumn=1^infty(42^n - 53^n) = S1 - S2 = 4 - 2,5 = 1,5

Resposta

A série converge e a soma é .

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