A função
é contínua em
? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para verificar se a função
é contínua no ponto
. Isso envolve entender o que é continuidade em funções de duas variáveis e como calcular limites nessa situação. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de limite para funções de duas variáveis e comparar com o valor da função no ponto em questão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Para uma função
ser contínua em
, o limite de
quando
se aproxima de
deve ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos verificar se:
Sabemos que
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. A função dada é:
Para simplificar, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir
e
. Assim, quando
, isso equivale a
. Substituindo na função:
Podemos reescrever o numerador usando a diferença de quadrados:
Então, a função fica:
Agora, o limite se simplifica para:
Isso é fácil de calcular:
Resposta
Sim, a função
é contínua em
, pois o limite quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.