A função é contínua em ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para verificar se a função é contínua no ponto . Isso envolve entender o que é continuidade em funções de duas variáveis e como calcular limites nessa situação. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de limite para funções de duas variáveis e comparar com o valor da função no ponto em questão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Para uma função ser contínua em , o limite de quando se aproxima de deve ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos verificar se:
Sabemos que .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de . A função dada é:
Para simplificar, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir e . Assim, quando , isso equivale a . Substituindo na função:
Podemos reescrever o numerador usando a diferença de quadrados:
Então, a função fica:
Agora, o limite se simplifica para:
Isso é fácil de calcular:

Resposta

Sim, a função é contínua em , pois o limite quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.

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Em um sistema de coordenadas cilindricas, formular usando apenas a definição estrutural do sistema cilíndrico, o seguinte:
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