A função f(x, y)=lllx^4-(y-1)^4x^2+(y-1)^2, & se (x, y) neq(0,1) 0, & se (x, y)=(0,1) é contínua em (0,1) ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para verificar se a função é contínua no ponto . Isso envolve entender o que é continuidade em funções de duas variáveis e como calcular limites nessa situação. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de limite para funções de duas variáveis e comparar com o valor da função no ponto em questão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Para uma função lim(x, y) to (a, b) f(x, y) = f(a, b) ser contínua em lim(x, y) to (0, 1) f(x, y) = f(0, 1) , o limite de quando se aproxima de deve ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos verificar se:
Sabemos que .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de f(x, y) = x^4 - (y-1)^4x^2 + (y-1)^2, & se (x, y) neq (0,1) 0, & se (x, y) = (0,1) quando f(u, v) = u^4 - v^4u^2 + v^2 se aproxima de u^4 - v^4 = (u^2)^2 - (v^2)^2 = (u^2 - v^2)(u^2 + v^2) . A função dada é:
f(u, v) = (u^2 - v^2)(u^2 + v^2)u^2 + v^2 = u^2 - v^2
Para simplificar, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir lim(u, v) to (0, 0) (u^2 - v^2) e lim(u, v) to (0, 0) u^2 - v^2 = 0 - 0 = 0 . Assim, quando , isso equivale a . Substituindo na função:
Podemos reescrever o numerador usando a diferença de quadrados:
Então, a função fica:
Agora, o limite se simplifica para:
Isso é fácil de calcular:

Resposta

Sim, a função é contínua em , pois o limite quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.

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