Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para verificar se a função é contínua no ponto . Isso envolve entender o que é continuidade em funções de duas variáveis e como calcular limites nessa situação. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de limite para funções de duas variáveis e comparar com o valor da função no ponto em questão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Para uma função ser contínua em , o limite de quando se aproxima de deve ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos verificar se:
Sabemos que .
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de . A função dada é:
Para simplificar, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir e . Assim, quando , isso equivale a . Substituindo na função:
Podemos reescrever o numerador usando a diferença de quadrados:
Então, a função fica:
Agora, o limite se simplifica para:
Isso é fácil de calcular:
Resposta
Sim, a função é contínua em , pois o limite quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.