Em um sistema de coordenadas cilindricas, formular usando apenas a definição estrutural do sistema cilíndrico, o seguinte:
(d) A equação do plano que passa por e é otorgonal a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a equação de um plano que passa por um ponto no sistema de coordenadas cilíndricas e que é perpendicular ao vetor . Aqui, estamos trabalhando com coordenadas cilíndricas e geometria vetorial. Vamos precisar entender como converter coordenadas cilíndricas para cartesianas e usar a condição de perpendicularidade para encontrar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos converter o ponto de coordenadas cilíndricas para cartesianas. A conversão é dada por:
Isso facilita trabalhar com vetores e planos no espaço tridimensional.

Passo 3

O vetor em coordenadas cartesianas é simplesmente:
Esse vetor será o vetor normal (perpendicular) ao nosso plano.

Passo 4

A equação geral de um plano no espaço tridimensional pode ser escrita usando o vetor normal e um ponto que pertence ao plano:
Aqui, é perpendicular ao plano, então suas componentes vão direto para a equação.

Passo 5

No nosso caso, o vetor normal é . Substituindo na equação do plano, temos:
Agora, vamos substituir e pelas expressões em termos de e .

Passo 6

Substituindo e na equação do plano, temos:
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 7

Expandindo os termos:
Agora, vamos reorganizar os termos.

Passo 8

Reorganizando:
Lembrando que , essa expressão simplifica.

Passo 9

Simplificando usando :
Essa é a equação do plano desejado.

Resposta

A equação do plano é:

Exercícios relacionados

Justifique a convergência e, se possível, calcule a soma da série .
Em um sistema de coordenadas cilindricas, formular usando apenas a definição estrutural do sistema cilíndrico, o seguinte:
© A equação da superície cilíndrica circular reta de raio e que tem o o eixo por eixo de simetria.
Escreva uma carta para alguém da sua família. Nesta carta, você deve explicar sobre o conteúdo estudado nas últimas semanas. Comece explicando os conceitos de sequências e séries e encerre com alguns exemplos.
Verifique se as sequências dadas abaixo convergem ou divergem. Caso seja convergente, ache o seu limite.