Em um sistema de coordenadas cilindricas, formular usando apenas a definição estrutural do sistema cilíndrico, o seguinte:
(d) A equação do plano que passa por e é otorgonal a .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a equação de um plano que passa por um ponto no sistema de coordenadas cilíndricas e que é perpendicular ao vetor . Aqui, estamos trabalhando com coordenadas cilíndricas e geometria vetorial. Vamos precisar entender como converter coordenadas cilíndricas para cartesianas e usar a condição de perpendicularidade para encontrar a equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos converter o ponto de coordenadas cilíndricas para cartesianas. A conversão é dada por:
Isso facilita trabalhar com vetores e planos no espaço tridimensional.
Passo 3
O vetor em coordenadas cartesianas é simplesmente:
Esse vetor será o vetor normal (perpendicular) ao nosso plano.
Passo 4
A equação geral de um plano no espaço tridimensional pode ser escrita usando o vetor normal e um ponto que pertence ao plano:
Aqui, é perpendicular ao plano, então suas componentes vão direto para a equação.
Passo 5
No nosso caso, o vetor normal é . Substituindo na equação do plano, temos:
Agora, vamos substituir e pelas expressões em termos de e .