Em um sistema de coordenadas cilindricas, formular usando apenas a definição estrutural do sistema cilíndrico, o seguinte:
(d) A equação do plano que passa por P0 = (r0, theta0, z0') e é otorgonal a O P0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a equação de um plano que passa por um ponto no sistema de coordenadas cilíndricas e que é perpendicular ao vetor O P0. Aqui, estamos trabalhando com coordenadas cilíndricas e geometria vetorial. Vamos precisar entender como converter coordenadas cilíndricas para cartesianas e usar a condição de perpendicularidade para encontrar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos converter o ponto P0 de coordenadas cilíndricas para cartesianas. A conversão é dada por:
Isso facilita trabalhar com vetores e planos no espaço tridimensional.

Passo 3

O vetor O P0 em coordenadas cartesianas é simplesmente:
Esse vetor será o vetor normal (perpendicular) ao nosso plano.

Passo 4

A equação geral de um plano no espaço tridimensional pode ser escrita usando o vetor normal e um ponto que pertence ao plano:
Aqui, n é perpendicular ao plano, então suas componentes vão direto para a equação.

Passo 5

No nosso caso, o vetor normal é . Substituindo na equação do plano, temos:
Agora, vamos substituir x_0 e y0 pelas expressões em termos de r_0 e theta_0.

Passo 6

Substituindo e na equação do plano, temos:
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 7

Expandindo os termos:
Agora, vamos reorganizar os termos.

Passo 8

Reorganizando:
Lembrando que , essa expressão simplifica.

Passo 9

Simplificando usando :
Essa é a equação do plano desejado.

Resposta

A equação do plano é:

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