Justifique porque se
é idempotente, temos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão aqui pede pra gente justificar por que, se a matriz
é idempotente, ou seja,
, então todas as potências maiores de
também são iguais a
, como
,
, e assim por diante. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre potências de matrizes e propriedades de matrizes idempotentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser idempotente. Uma matriz
é chamada de idempotente se, ao multiplicarmos ela por si mesma, o resultado é ela mesma. Em termos matemáticos, isso é:
Passo 3
Agora, para mostrar que
, vamos multiplicar
por
. Sabemos que
, então:
Viu?
também é igual a
.
Passo 4
Vamos generalizar isso para qualquer potência
. Suponha que já sabemos que
para algum inteiro
. Então, para
, temos:
Isso mostra que se
, então
também.
Passo 5
Usando o princípio da indução matemática, já que mostramos que se
implica
, e sabemos que
, concluímos que para qualquer
,
.
Resposta
Portanto, se
é idempotente, então para todo inteiro
, temos
.