Justifique porque se A é idempotente, temos A^3=A, A^4=A, ldots, A^n=A, ldots

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão aqui pede pra gente justificar por que, se a matriz A é idempotente, ou seja, A^2 = A, então todas as potências maiores de A também são iguais a A, como A^3 = A, A^4 = A, e assim por diante. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre potências de matrizes e propriedades de matrizes idempotentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser idempotente. Uma matriz A é chamada de idempotente se, ao multiplicarmos ela por si mesma, o resultado é ela mesma. Em termos matemáticos, isso é:
A^2 = A

Passo 3

Agora, para mostrar que A^3 = A, vamos multiplicar A^2 por A. Sabemos que A^2 = A, então:
A^3 = A^2 cdot A = A cdot A = A^2 = A
Viu? A^3 também é igual a A.

Passo 4

Vamos generalizar isso para qualquer potência n. Suponha que já sabemos que A^k = A para algum inteiro k >= 2. Então, para A^k+1, temos:
A^k+1 = A^k cdot A = A cdot A = A^2 = A
Isso mostra que se A^k = A, então A^k+1 = A também.

Passo 5

Usando o princípio da indução matemática, já que mostramos que se A^k = A implica A^k+1 = A, e sabemos que A^2 = A, concluímos que para qualquer n >= 2, A^n = A.

Resposta

Portanto, se A é idempotente, então para todo inteiro n >= 2, temos A^n = A.

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