Seja A=(cc3 & -2 -4 & 3). Determine A^2 e A^3. Encontre uma matriz B tal que B^2=A
Resposta: B=(cc1 & -1 -2 & 1)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a matriz 3 & -2 -4 & 3 e precisamos:
  1. Calcular e (isto é, a matriz A elevada ao quadrado e ao cubo).
  2. Encontrar uma matriz tal que .
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de multiplicação de matrizes e propriedades de matrizes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular A^2 = A times A = 3 & -2 -4 & 3 times 3 & -2 -4 & 3 , que significa multiplicar a matriz A por ela mesma.
Para multiplicar duas matrizes, multiplicamos as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz e somamos os produtos correspondentes.

Passo 3

Vamos calcular cada elemento de (3 times 3) + (-2 times -4) = 9 + 8 = 17 :
  • Elemento (1,1):
(3 times -2) + (-2 times 3) = -6 -6 = -12
  • Elemento (1,2):
(-4 times 3) + (3 times -4) = -12 -12 = -24
  • Elemento (2,1):
(-4 times -2) + (3 times 3) = 8 + 9 = 17
  • Elemento (2,2):
A^2 = 17 & -12 -24 & 17
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular A^3 = A^2 times A = 17 & -12 -24 & 17 times 3 & -2 -4 & 3 , que é .
Vamos multiplicar as matrizes da mesma forma que fizemos para .

Passo 5

Calculando cada elemento de (17 times 3) + (-12 times -4) = 51 + 48 = 99 :
  • Elemento (1,1):
(17 times -2) + (-12 times 3) = -34 -36 = -70
  • Elemento (1,2):
(-24 times 3) + (17 times -4) = -72 -68 = -140
  • Elemento (2,1):
(-24 times -2) + (17 times 3) = 48 + 51 = 99
  • Elemento (2,2):
A^3 = 99 & -70 -140 & 99
Então,

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma matriz B = a & b c & d tal que B^2 = B times B = a & b c & d times a & b c & d = a^2 + b c & a b + b d c a + d c & b c + d^2 . Isso significa que ao multiplicar a matriz a^2 + b c & a b + b d c a + d c & b c + d^2 = 3 & -2 -4 & 3 por ela mesma, o resultado deve ser a matriz .
Vamos supor que seja uma matriz 2x2 da forma:
Então,
Queremos que , ou seja,
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 7

Resolvendo o sistema:
Vamos tentar encontrar valores para a^2 + (-1a) (-2a) = a^2 + 2a^2 = 3 que satisfaçam todas as equações. Observando a simetria das equações 2 e 3, podemos assumir que a^4 + 2 = 3 a^2 .
Assumindo a^4 - 3 a^2 + 2 = 0 , as equações 2 e 3 tornam-se:
  1. x^2 - 3 x + 2 = 0 x = 3 pm raiz9 - 82 = 3 pm 12
Da equação 2:
Da equação 3:
Substituindo e na equação 1:
Multiplicando ambos os lados por :
Rearranjando:
Vamos resolver essa equação quadrática em :
Suponha , então:
Resolvendo:
Então, ou , ou seja, ou .

Passo 8

Caso 1: B = 1 & -1 -2 & 1 ou
Vamos escolher para simplificar, já que na resposta proposta tem elementos inteiros. Portanto, consideramos ou .
Escolhendo :
  • Já que
Então, a matriz fica:

Resposta

B = 1 & -1 -2 & 1

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