Seja
. Determine
e
. Encontre uma matriz
tal que
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a matriz
e precisamos:
- Calcular
e (isto é, a matriz A elevada ao quadrado e ao cubo). - Encontrar uma matriz
tal que .
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de multiplicação de matrizes e propriedades de matrizes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
, que significa multiplicar a matriz A por ela mesma.
Para multiplicar duas matrizes, multiplicamos as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz e somamos os produtos correspondentes.
Passo 3
Vamos calcular cada elemento de
:
- Elemento (1,1):
- Elemento (1,2):
- Elemento (2,1):
- Elemento (2,2):
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular
, que é
.
Vamos multiplicar as matrizes da mesma forma que fizemos para
.
Passo 5
Calculando cada elemento de
:
- Elemento (1,1):
- Elemento (1,2):
- Elemento (2,1):
- Elemento (2,2):
Então,
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma matriz
tal que
. Isso significa que ao multiplicar a matriz
por ela mesma, o resultado deve ser a matriz
.
Vamos supor que
seja uma matriz 2x2 da forma:
Então,
Queremos que
, ou seja,
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 7
Resolvendo o sistema:
Vamos tentar encontrar valores para
que satisfaçam todas as equações. Observando a simetria das equações 2 e 3, podemos assumir que
.
Assumindo
, as equações 2 e 3 tornam-se:
-
⇒ -
⇒
Da equação 2:
Da equação 3:
Substituindo
e
na equação 1:
Multiplicando ambos os lados por
:
Rearranjando:
Vamos resolver essa equação quadrática em
:
Suponha
, então:
Resolvendo:
Então,
ou
, ou seja,
ou
.
Passo 8
Caso 1:
⇒
ou
Vamos escolher
para simplificar, já que na resposta proposta
tem elementos inteiros. Portanto, consideramos
⇒
ou
.
Escolhendo
:
-
-
- Já que
Então, a matriz
fica: