Questão 02: Considere o conjunto
tal que
e
com as seguintes operações:
i) adição
ii) multiplicação por escalar
Mostre que
não é espaço vetorial.
i) adição
ii) multiplicação por escalar
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o conjunto
, com a adição definida como
e a multiplicação por escalar como
, não é um espaço vetorial. Isso está dentro do tema de espaços vetoriais, e para resolver, vamos precisar entender quais são as propriedades que definem um espaço vetorial e verificar se
cumpre todas elas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um conjunto ser considerado um espaço vetorial, ele precisa satisfazer alguns axiomas específicos. Esses axiomas incluem coisas como a existência de um vetor nulo, a existência de inversos aditivos, a associatividade da adição, e outras propriedades. Se pelo menos um desses axiomas não for cumprido, então o conjunto não é um espaço vetorial.
Passo 3
Vamos começar verificando se o conjunto
tem o vetor nulo. O vetor nulo é um elemento que, quando somado a qualquer outro vetor no conjunto, não muda esse vetor. No caso dos números reais, o vetor nulo seria o número 0 porque
para qualquer
.
Passo 4
Agora, vamos ver se o número 0 está no conjunto
. Segundo a definição de
, ele só inclui números reais maiores que zero (
). Mas 0 não é maior que zero, então 0 não está em
.
Passo 5
Como 0 não pertence a
, isso significa que
não possui o vetor nulo. A existência do vetor nulo é um dos axiomas essenciais para que um conjunto seja considerado um espaço vetorial. Se esse axioma não é cumprido, o conjunto não pode ser um espaço vetorial.
Resposta
Portanto, como o conjunto
não contém o vetor nulo, ele não é um espaço vetorial.