Questão 02: Considere o conjunto V=x tal que x in R e x>0 com as seguintes operações:
i) adição :=x+y
ii) multiplicação por escalar :=alpha x
Mostre que V não é espaço vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o conjunto , com a adição definida como e a multiplicação por escalar como , não é um espaço vetorial. Isso está dentro do tema de espaços vetoriais, e para resolver, vamos precisar entender quais são as propriedades que definem um espaço vetorial e verificar se cumpre todas elas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um conjunto ser considerado um espaço vetorial, ele precisa satisfazer alguns axiomas específicos. Esses axiomas incluem coisas como a existência de um vetor nulo, a existência de inversos aditivos, a associatividade da adição, e outras propriedades. Se pelo menos um desses axiomas não for cumprido, então o conjunto não é um espaço vetorial.

Passo 3

Vamos começar verificando se o conjunto tem o vetor nulo. O vetor nulo é um elemento que, quando somado a qualquer outro vetor no conjunto, não muda esse vetor. No caso dos números reais, o vetor nulo seria o número 0 porque para qualquer .

Passo 4

Agora, vamos ver se o número 0 está no conjunto . Segundo a definição de , ele só inclui números reais maiores que zero ( ). Mas 0 não é maior que zero, então 0 não está em .

Passo 5

Como 0 não pertence a , isso significa que não possui o vetor nulo. A existência do vetor nulo é um dos axiomas essenciais para que um conjunto seja considerado um espaço vetorial. Se esse axioma não é cumprido, o conjunto não pode ser um espaço vetorial.

Resposta

Portanto, como o conjunto não contém o vetor nulo, ele não é um espaço vetorial.

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