onde
e
são os números de onda para as partículas incidentes e transmitidas, respectivamente. Prossiga como indicado a seguir. Demonstre que a função de onda
satisfaz a equação de Schrödinger na região 1, para
. Aqui,
representa o feixe incidente, e
, as partículas refletidas. Demonstre que
satisfaz a equação de Schrödinger na região 2 , para
. Imponha as condições de contorno
e
, em
, para determinar a relação entre
e
. Depois, calcule
. Uma partícula que tem energia cinética
incide de uma região onde a energia potencial é igual a zero sobre outra em que
. Determine (b) sua probabilidade de ser refletida e © sua probabilidade de ser transmitida. Resposta: b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de mecânica quântica onde precisamos mostrar que certas funções de onda satisfazem a equação de Schrödinger em duas regiões diferentes. Depois, precisamos aplicar condições de contorno para encontrar a relação entre os coeficientes das ondas refletida e incidente, e finalmente calcular as probabilidades de reflexão $ R $ e transmissão $ T $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a equação de Schrödinger, funções de onda, e como elas se comportam em diferentes regiões com diferentes potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula em uma dimensão:
Aqui, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, $ m $ é a massa da partícula, $ U(x) $ é a energia potencial, $ E $ é a energia total da partícula, e $ \psi $ é a função de onda.
Passo 3
Na região 1 ($ x < 0 $), a energia potencial $ U = 0 $. Então, a equação de Schrödinger fica:
A solução geral para essa equação é uma combinação de ondas exponenciais. No problema, a função de onda na região 1 é dada por:
Onde $ A e^{i k_{1} x} $ representa a onda incidente e $ B e^{-i k_{1} x} $ a onda refletida. Aqui, $ k_{1} = \frac{2\pi}{\lambda_{1}} $ é o número de onda.
Passo 4
Vamos verificar se $ \psi_{1} $ satisfaz a equação de Schrödinger na região 1. Primeiro, calculamos a segunda derivada de $ \psi_{1} $ em relação a $ x $:
Substituindo na equação de Schrödinger:
Isso mostra que $ \psi_{1} $ satisfaz a equação de Schrödinger se $ E = \frac{\hbar^2 k_{1}^2}{2m} $.
Passo 5
Agora, na região 2 ($ x > 0 $), a energia potencial é $ U = 5,00 , eV $. A equação de Schrödinger fica:
Simplificando:
A solução geral para essa equação é:
Onde $ k_{2} = \frac{2\pi}{\lambda_{2}} $ é o número de onda na região 2.
Passo 6
Vamos verificar se $ \psi_{2} $ satisfaz a equação de Schrödinger na região 2. Calculando a segunda derivada:
Substituindo na equação de Schrödinger:
Isso confirma que $ \psi_{2} $ satisfaz a equação de Schrödinger se $ \frac{\hbar^2 k_{2}^2}{2m} + 5,00 , eV = 7,00 , eV $.
Passo 7
Agora, vamos impor as condições de contorno em $ x = 0 $. Precisamos que $ \psi_{1} = \psi_{2} $ e que as derivadas também sejam iguais em $ x = 0 $.
Primeiro, igualando as funções de onda em $ x = 0 $:
Segundo, igualando as derivadas em $ x = 0 $:
Podemos simplificar a segunda equação dividindo por $ i $:
Agora, substituímos $ C $ da primeira equação na segunda:
Passo 8
Agora, queremos calcular a probabilidade de reflexão $ R $, que é dada por:
Isso nos dá a relação para $ R $ em termos dos números de onda $ k_{1} $ e $ k_{2} $.
Passo 9
Para calcular numericamente $ R $, precisamos relacionar $ k_{1} $ e $ k_{2} $ com as energias e comprimentos de onda.
Sabemos que:
E a energia cinética está relacionada com o número de onda por:
Como as energias e os potenciais são dados, podemos relacionar $ k_{1} $ e $ k_{2} $.
No entanto, para facilitar, usamos a expressão dada:
Substituindo os valores dados:
E a probabilidade de transmissão $ T $ é:
Resposta
b) $ R = 0{,}0920 $
c) $ T = 0{,}908 $
c) $ T = 0{,}908 $