R=(k1-k2)^2(k1+k2)^2
onde k1=2 pi / lambda1 e k2=2 pi / lambda2 são os números de onda para as partículas incidentes e transmitidas, respectivamente. Prossiga como indicado a seguir. Demonstre que a função de onda psi1=A e^i k1 x+B e^-i k1 x satisfaz a equação de Schrödinger na região 1, para x<0. Aqui, A e^i k1 x representa o feixe incidente, e B e^-i k1 x, as partículas refletidas. Demonstre que psi2=C e^i k2 x satisfaz a equação de Schrödinger na região 2 , para x>0. Imponha as condições de contorno psi1=psi2 e d psi1 / d x=d psi2 / d x, em x=0, para determinar a relação entre B e A. Depois, calcule R=B^2 / A^2. Uma partícula que tem energia cinética E=7,00 eV incide de uma região onde a energia potencial é igual a zero sobre outra em que U=5,00 eV. Determine (b) sua probabilidade de ser refletida e © sua probabilidade de ser transmitida. Resposta: b) R=0,0920 c) T=0,908

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de mecânica quântica onde precisamos mostrar que certas funções de onda satisfazem a equação de Schrödinger em duas regiões diferentes. Depois, precisamos aplicar condições de contorno para encontrar a relação entre os coeficientes das ondas refletida e incidente, e finalmente calcular as probabilidades de reflexão $ R $ e transmissão $ T $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a equação de Schrödinger, funções de onda, e como elas se comportam em diferentes regiões com diferentes potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula em uma dimensão:
-hbar^22m d^2 psidx^2 + U(x) psi = E psi
Aqui, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, $ m $ é a massa da partícula, $ U(x) $ é a energia potencial, $ E $ é a energia total da partícula, e $ \psi $ é a função de onda.

Passo 3

Na região 1 ($ x < 0 $), a energia potencial $ U = 0 $. Então, a equação de Schrödinger fica:
x < 0
A solução geral para essa equação é uma combinação de ondas exponenciais. No problema, a função de onda na região 1 é dada por:
U = 0
Onde $ A e^{i k_{1} x} $ representa a onda incidente e $ B e^{-i k_{1} x} $ a onda refletida. Aqui, $ k_{1} = \frac{2\pi}{\lambda_{1}} $ é o número de onda.

Passo 4

Vamos verificar se $ \psi_{1} $ satisfaz a equação de Schrödinger na região 1. Primeiro, calculamos a segunda derivada de $ \psi_{1} $ em relação a $ x $:
psi1
psi1
Substituindo na equação de Schrödinger:
x
d psi1dx = i k1 A e^i k1 x - i k1 B e^-i k1 x
Isso mostra que $ \psi_{1} $ satisfaz a equação de Schrödinger se $ E = \frac{\hbar^2 k_{1}^2}{2m} $.

Passo 5

Agora, na região 2 ($ x > 0 $), a energia potencial é $ U = 5,00 , eV $. A equação de Schrödinger fica:
x > 0
Simplificando:
U = 5,00 , eV
-hbar^22m d^2 psi2dx^2 + 5,00 , eV psi2 = 7,00 , eV psi2
A solução geral para essa equação é:
-hbar^22m d^2 psi2dx^2 = (7,00 - 5,00) , eV psi2
Onde $ k_{2} = \frac{2\pi}{\lambda_{2}} $ é o número de onda na região 2.

Passo 6

Vamos verificar se $ \psi_{2} $ satisfaz a equação de Schrödinger na região 2. Calculando a segunda derivada:
psi2
d psi2dx = i k2 C e^i k2 x
Substituindo na equação de Schrödinger:
d^2 psi2dx^2 = -k2^2 C e^i k2 x = -k2^2 psi2
-hbar^22m (-k2^2 psi2) + 5,00 , eV psi2 = 7,00 , eV psi2
Isso confirma que $ \psi_{2} $ satisfaz a equação de Schrödinger se $ \frac{\hbar^2 k_{2}^2}{2m} + 5,00 , eV = 7,00 , eV $.

Passo 7

Agora, vamos impor as condições de contorno em $ x = 0 $. Precisamos que $ \psi_{1} = \psi_{2} $ e que as derivadas também sejam iguais em $ x = 0 $.
Primeiro, igualando as funções de onda em $ x = 0 $:
x = 0
Segundo, igualando as derivadas em $ x = 0 $:
psi1 = psi2
Podemos simplificar a segunda equação dividindo por $ i $:
x = 0
Agora, substituímos $ C $ da primeira equação na segunda:
x = 0
A + B = C
x = 0
i k1 A - i k1 B = i k2 C

Passo 8

Agora, queremos calcular a probabilidade de reflexão $ R $, que é dada por:
R
Isso nos dá a relação para $ R $ em termos dos números de onda $ k_{1} $ e $ k_{2} $.

Passo 9

Para calcular numericamente $ R $, precisamos relacionar $ k_{1} $ e $ k_{2} $ com as energias e comprimentos de onda.
Sabemos que:
R
E a energia cinética está relacionada com o número de onda por:
k1
Como as energias e os potenciais são dados, podemos relacionar $ k_{1} $ e $ k_{2} $.
No entanto, para facilitar, usamos a expressão dada:
k2
Substituindo os valores dados:
k = 2pilambda
E a probabilidade de transmissão $ T $ é:
E = hbar^2 k^22m

Resposta

b) $ R = 0{,}0920 $
c) $ T = 0{,}908 $

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