psi0(x)=(api)^1 / 4 e^-a x^2 / 2 e psi1(x)=(4 a^3pi)^1 / 4 x e^-a x^2 / 2
onde a=m omega / hbar. Um estado misto, psi01(x), é estabelecido com base nesses estados:
psi01(x)=1raiz2[psi0(x)+psi1(x)]
O símbolo lang<= qrang<=s denota o valor esperado da grandeza q para o estado psis(x). Calcule os valores esperados (a) lang<= xrang<=0, (b) lang<= xrang<=1, e © lang<= xrang<=01. Resposta: a) lang<= xrang<=0=0 b) lang<= xrang<=1=0 c) lang<= xrang<=01=1raiz2 a

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de mecânica quântica! A gente tem duas funções de onda, psi0(x) e psi1(x), que dependem de uma constante a. Além disso, há um estado misto psi01(x) formado pela combinação dessas duas funções. Nosso objetivo é calcular os valores esperados de x para cada um desses estados. Para isso, vamos precisar entender como calcular o valor esperado de uma grandeza em mecânica quântica, que envolve integrar a função de onda multiplicada pela grandeza e pela função de onda conjugada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor esperado lang<= x rang<=0 para o estado psi0(x). O valor esperado de x é dado por:
lang<= x rang<= = integral-infty^infty psi^*(x) , x , psi(x) , dx
No caso de psi0(x):
psi0(x) = (api)^1/4 e^-a x^2 / 2
Note que psi0(x) é uma função par, ou seja, é simétrica em relação ao eixo y. Quando multiplicamos uma função par por x (que é ímpar) e por outra função par, o resultado é uma função ímpar. A integral de uma função ímpar em todo o eixo real é zero. Portanto:
lang<= x rang<=0 = 0

Passo 3

Agora, vamos calcular lang<= x rang<=1 para o estado psi1(x). A função de onda psi1(x) é dada por:
psi1(x) = (4 a^3pi)^1/4 x e^-a x^2 / 2
Aqui, psi1(x) é uma função ímpar, já que multiplicamos x (ímpar) por uma função par. Quando calculamos o valor esperado:
lang<= x rang<=1 = integral-infty^infty psi1^*(x) , x , psi1(x) , dx
Multiplicando psi1(x) por x e por psi1(x) novamente, obtemos uma função par. Porém, devido à simetria e ao fato de que a distribuição é centrada em zero, o valor esperado também será zero:
lang<= x rang<=1 = 0

Passo 4

Por fim, vamos calcular lang<= x rang<=01 para o estado misto psi01(x):
psi01(x) = 1raiz2 [ psi0(x) + psi1(x) ]
O valor esperado é dado por:
lang<= x rang<=01 = integral-infty^infty psi01^*(x) , x , psi01(x) , dx
Explicando melhor, substituindo psi01(x) na integral:
lang<= x rang<=01 = 12 ( lang<= x rang<=0 + lang<= x rang<=1 + lang<= psi0 | x | psi1 rang<= + lang<= psi1 | x | psi0 rang<= )
Já sabemos que lang<= x rang<=0 = lang<= x rang<=1 = 0. Restam os termos de interferência:
lang<= psi0 | x | psi1 rang<= = 1raiz2a
Portanto:
lang<= x rang<=01 = 1raiz2a

Resposta

a) lang<= xrang<=0=0
b) lang<= xrang<=1=0
c) lang<= xrang<=01=dfrac1raiz2 a

Exercícios relacionados