onde
. Um estado misto,
, é estabelecido com base nesses estados:
O símbolo
denota o valor esperado da grandeza
para o estado
. Calcule os valores esperados (a)
, (b)
, e ©
. Resposta: a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de mecânica quântica! A gente tem duas funções de onda,
e
, que dependem de uma constante
. Além disso, há um estado misto
formado pela combinação dessas duas funções. Nosso objetivo é calcular os valores esperados de
para cada um desses estados. Para isso, vamos precisar entender como calcular o valor esperado de uma grandeza em mecânica quântica, que envolve integrar a função de onda multiplicada pela grandeza e pela função de onda conjugada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor esperado
para o estado
. O valor esperado de
é dado por:
No caso de
:
Note que
é uma função par, ou seja, é simétrica em relação ao eixo
. Quando multiplicamos uma função par por
(que é ímpar) e por outra função par, o resultado é uma função ímpar. A integral de uma função ímpar em todo o eixo real é zero. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular
para o estado
. A função de onda
é dada por:
Aqui,
é uma função ímpar, já que multiplicamos
(ímpar) por uma função par. Quando calculamos o valor esperado:
Multiplicando
por
e por
novamente, obtemos uma função par. Porém, devido à simetria e ao fato de que a distribuição é centrada em zero, o valor esperado também será zero:
Passo 4
Por fim, vamos calcular
para o estado misto
:
O valor esperado é dado por:
Explicando melhor, substituindo
na integral:
Já sabemos que
. Restam os termos de interferência:
Portanto:
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)