psi(x)=A(sin [pi xL]+4 sin [2 pi xL])
(b) Uma partícula é descrita no espaço -a <= x <= a pela função de onda
psi(x)=A cos [pi x2 a]+B sin [pi xa]
Determine a relação entre os valores de A e B requeridos para a normalização. Resposta: a) A=raiz217 L b) |A|^2+|B|^2=1a

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos uma função de onda para uma partícula no intervalo -a <= x <= a:
psi(x) = A cos [pi x2 a] + B sin [pi xa]
O objetivo é determinar a relação entre os coeficientes A e B que garante que a função de onda esteja normalizada. Isso significa que a probabilidade total de encontrar a partícula no intervalo -a a a deve ser igual a 1. Para resolver isso, vamos precisar aplicar o conceito de normalização de funções de onda na mecânica quântica.

Passo 2

Normalizar a função de onda significa que a integral do módulo ao quadrado de psi(x) sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Matematicamente, isso é expresso por:
integral-a^a |psi(x)|^2 , dx = 1
Primeiro, vamos calcular o módulo ao quadrado de psi(x):
|psi(x)|^2 = [A cos (pi x2 a) + B sin (pi xa)]^2
Expandindo o quadrado, temos:
|psi(x)|^2 = A^2 cos^2 (pi x2 a) + 2AB cos (pi x2 a) sin (pi xa) + B^2 sin^2 (pi xa)
Agora, vamos integrar cada termo separadamente no intervalo de -a a a:
  1. Integral de A^2 cos^2 (pi x2 a):
Usamos a identidade trigonométrica cos^2 theta = 1 + cos(2theta)2:
A^2 integral-a^a 1 + cos(pi xa)2 , dx = A^2 [ x2 + api sin(pi xa) ]-a^a = A^2 ( 2a2 ) = A^2 a
  1. Integral de 2AB cos (pi x2 a) sin (pi xa):
Usamos a identidade trigonométrica 2 cos theta sin phi = sin(theta + phi) - sin(theta - phi):
2AB integral-a^a cos (pi x2 a) sin (pi xa) , dx = AB [ -2api cos(3pi x2a) + 2api cos(pi x2a) ]-a^a = 0
(O resultado é zero porque as funções cosseno são pares e ímpares em relação aos limites de integração, cancelando-se mutuamente.)
  1. Integral de B^2 sin^2 (pi xa):
Usamos a identidade trigonométrica sin^2 theta = 1 - cos(2theta)2:
B^2 integral-a^a 1 - cos(2pi xa)2 , dx = B^2 [ x2 - a2pi sin(2pi xa) ]-a^a = B^2 ( 2a2 ) = B^2 a

Resposta

Somando todos os termos integrados, temos:
A^2 a + 0 + B^2 a = 1
Dividindo ambos os lados por a:
A^2 + B^2 = 1a
Portanto, a relação requerida para a normalização é:
|A|^2 + |B|^2 = 1a

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