(b) Uma partícula é descrita no espaço
pela função de onda
Determine a relação entre os valores de
e
requeridos para a normalização. Resposta: a)
b)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos uma função de onda para uma partícula no intervalo
:
O objetivo é determinar a relação entre os coeficientes
e
que garante que a função de onda esteja normalizada. Isso significa que a probabilidade total de encontrar a partícula no intervalo
a
deve ser igual a 1. Para resolver isso, vamos precisar aplicar o conceito de normalização de funções de onda na mecânica quântica.
Passo 2
Normalizar a função de onda significa que a integral do módulo ao quadrado de
sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Matematicamente, isso é expresso por:
Primeiro, vamos calcular o módulo ao quadrado de
:
Expandindo o quadrado, temos:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente no intervalo de
a
:
- Integral de
:
Usamos a identidade trigonométrica
:
- Integral de
:
Usamos a identidade trigonométrica
:
(O resultado é zero porque as funções cosseno são pares e ímpares em relação aos limites de integração, cancelando-se mutuamente.)
- Integral de
:
Usamos a identidade trigonométrica
:
Resposta
Somando todos os termos integrados, temos:
Dividindo ambos os lados por
:
Portanto, a relação requerida para a normalização é: