O pósitron (a antipartícula do elétron) possui massa igual a 9,11 times 10^-31 kg e carga q0= +e=+1,6 times 10^-19 C. Suponha que um pósitron esteja se movendo nas vizinhanças de uma partícula alpha (alfa), que possui carga q=+2 e=+3,2 times 10^-19 C e massa 6,64 times 10^-27 kg. A partícula alpha possui massa cerca de 7.000 vezes maior que a do pósitron, de modo que vamos considerar a partícula alpha em repouso em algum sistema de referência inercial. Quando o pósitron está a uma distância igual a 1,0 times 10^-10 m da partícula alpha, ele se afasta dessa partícula com uma velocidade igual a 3,0 times 10^6 m / s.
(a) Qual é a velocidade do pósitron quando ele está a uma distância de 2,0 times 10^-10 m da partícula alpha ?
(b) Qual é a velocidade do pósitron quando ele está a uma distância muito grande da partícula alpha ?
© Qual seria a alteração da situação supondo que a partícula que se desloca fosse, em vez de um pósitron, um elétron (de mesma massa do pósitron, mas de carga q0=-e)? Descreva o movimento subsequente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema de Física que envolve cargas elétricas e movimento. Especificamente, estamos lidando com um pósitron (a antipartícula do elétron) que está se afastando de uma partícula alfa carregada positivamente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia cinética e energia potencial elétrica, aplicando a conservação de energia. Vamos descobrir como a velocidade do pósitron muda conforme ele se afasta da partícula alfa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia total do sistema é conservada. Isso significa que a soma da energia cinética (a energia do movimento) e da energia potencial elétrica (devido às cargas) permanece constante durante o movimento do pósitron.
A energia cinética ($ K $) é dada por:
K
onde $ m $ é a massa e $ v $ é a velocidade.
A energia potencial elétrica ($ U $) entre duas cargas é:
K = 12 m v^2
onde $ k $ é a constante eletrostática ($ 8,99 \times 10^9 , \mathrm{N \cdot m2/C2} $), $ q_1 $ e $ q_2 $ são as cargas, e $ r $ é a distância entre elas.

Passo 3

Vamos definir os dados que temos:
  • Massa do pósitron ($ m $): $ 9,11 \times 10^{-31} , \mathrm{kg} $
  • Carga do pósitron ($ q_0 $): $ +1,6 \times 10^{-19} , \mathrm{C} $
  • Carga da partícula alfa ($ q $): $ +3,2 \times 10^{-19} , \mathrm{C} $
  • Distância inicial ($ r_1 $): $ 1,0 \times 10^{-10} , \mathrm{m} $
  • Velocidade inicial ($ v_1 $): $ 3,0 \times 10^{6} , \mathrm{m/s} $
  • Distância final ($ r_2 $): $ 2,0 \times 10^{-10} , \mathrm{m} $
  • Velocidade final ($ v_2 $): é o que queremos encontrar.

Passo 4

Aplicando a conservação de energia:
K1 + U1 = K2 + U2
Substituindo pelas fórmulas:
12 m v1^2 + k q1 q2r1 = 12 m v2^2 + k q1 q2r2

Passo 5

Vamos isolar $ v_2 $ na equação:
v2
Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
12 m v2^2 = 12 m v1^2 + k q1 q2r1 - k q1 q2r2
Dividindo tudo por $ m $:
m v2^2 = m v1^2 + 2k q1 q2 ( 1r1 - 1r2 )
E finalmente, tirando a raiz quadrada:
m

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores numéricos na equação:
  • $ v_1 = 3,0 \times 10^{6} , \mathrm{m/s} $
  • $ k = 8,99 \times 10^9 , \mathrm{N \cdot m2/C2} $
  • $ q_1 = 1,6 \times 10^{-19} , \mathrm{C} $
  • $ q_2 = 3,2 \times 10^{-19} , \mathrm{C} $
  • $ m = 9,11 \times 10^{-31} , \mathrm{kg} $
  • $ r_1 = 1,0 \times 10^{-10} , \mathrm{m} $
  • $ r_2 = 2,0 \times 10^{-10} , \mathrm{m} $
Substituindo:
v1 = 3,0 times 10^6 , m/s

Passo 7

Vamos calcular cada parte:
  1. $ v_1^2 = (3,0 \times 10{6})2 = 9,0 \times 10^{12} , \mathrm{m2/s2} $
  2. Primeiro, calculamos o termo dentro do parênteses:
v1^2 = (3,0 times 10^6)^2 = 9,0 times 10^12 , m^2/s^2
  1. Agora, calculamos o coeficiente:
11,0 times 10^-10 - 12,0 times 10^-10 = 1,0 times 10^10 - 0,5 times 10^10 = 0,5 times 10^10 , m^-1
  1. Multiplicando pelo termo do parênteses:
2 times 8,99 times 10^9 times 1,6 times 10^-19 times 3,2 times 10^-199,11 times 10^-31 = 2 times 8,99 times 10^9 times 5,12 times 10^-389,11 times 10^-31 approx 9,203 times 10^-289,11 times 10^-31 approx 1,009 times 10^3 , m^2/s^2

Passo 8

Agora, somamos $ v_1^2 $ com esse resultado:
v1^2

Resposta

A velocidade do pósitron quando ele está a uma distância de $ 2,0 \times 10^{-10} , \mathrm{m} $ da partícula alfa é aproximadamente $ 3,75 \times 10^{6} , \mathrm{m/s} $.

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