(l) a_n = raiz(1000)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a sequência . Isso significa que para cada valor de , estamos tirando a raiz -ésima de 1000. Nosso objetivo aqui é entender o que acontece com essa sequência à medida que cresce, ou seja, queremos descobrir o limite de quando tende ao infinito. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das potências e raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão de uma forma que facilite o cálculo do limite. Sabemos que a raiz -ésima de um número é a mesma coisa que elevar esse número à potência . Então, podemos reescrever assim:

Passo 3

Agora, queremos encontrar o limite dessa expressão quando vai para o infinito. Ou seja, queremos calcular:
Para resolver isso, vamos lembrar de uma propriedade importante dos limites das potências. Se tivermos uma constante positiva , então:
Isso porque, conforme aumenta, se aproxima de zero, e qualquer número elevado a zero é 1.

Passo 4

Aplicando essa propriedade ao nosso caso, onde , temos:
Isso significa que, independentemente de quão grande seja o número dentro da raiz, se a raiz cresce sem limite, a expressão inteira se aproxima de 1.

Resposta

O limite da sequência quando tende ao infinito é .

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