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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a sequência
. Isso significa que para cada valor de
, estamos tirando a raiz
-ésima de 1000. Nosso objetivo aqui é entender o que acontece com essa sequência à medida que
cresce, ou seja, queremos descobrir o limite de
quando
tende ao infinito. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das potências e raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão
de uma forma que facilite o cálculo do limite. Sabemos que a raiz
-ésima de um número é a mesma coisa que elevar esse número à potência
. Então, podemos reescrever
assim:
Passo 3
Agora, queremos encontrar o limite dessa expressão quando
vai para o infinito. Ou seja, queremos calcular:
Para resolver isso, vamos lembrar de uma propriedade importante dos limites das potências. Se tivermos uma constante positiva
, então:
Isso porque, conforme
aumenta,
se aproxima de zero, e qualquer número elevado a zero é 1.
Passo 4
Aplicando essa propriedade ao nosso caso, onde
, temos:
Isso significa que, independentemente de quão grande seja o número dentro da raiz, se a raiz cresce sem limite, a expressão inteira se aproxima de 1.
Resposta
O limite da sequência
quando
tende ao infinito é
.
Exercícios relacionados
Mostre que as funçōes abaixo satisfazem as hipóteses do Teorema de Rolle, no intervalo indicado e determine todos os números
, tais que
.
;
Divisão e racionalização de denominadores de radicais
Escreva as frações abaixo como uma fração equivalente com o denominador indicado
Verifique se a funçâo
satisfaz o Teorema do Valor Médio no intervalo indicado
, caso afirmativo, determine todos
tais que
.
em
.