Verifique se a funçâo satisfaz o Teorema do Valor Médio no intervalo indicado , caso afirmativo, determine todos tais que .
em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função satisfaz o Teorema do Valor Médio no intervalo . Se sim, vamos encontrar todos os valores de nesse intervalo que fazem com que . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre continuidade, diferenciabilidade e calcular derivadas.

Passo 2

Primeiro, o Teorema do Valor Médio (TVM) diz que se uma função é contínua em e diferenciável em , então existe pelo menos um ponto em onde a derivada é igual à taxa média de variação da função nesse intervalo, ou seja:
Então, nosso primeiro passo é checar se é contínua e diferenciável no intervalo dado.

Passo 3

Vamos verificar a continuidade de no intervalo . A função é uma fração, e ela é contínua em todos os pontos onde o denominador não é zero. Aqui, quando , mas como nosso intervalo começa em 2, que é maior que 1, não temos problemas de descontinuidade. Então, é contínua em .

Passo 4

Agora, vamos checar a diferenciabilidade de no intervalo . A função é diferenciável em qualquer ponto onde ela é contínua e onde o denominador não se anula, o que já confirmamos que não ocorre nesse intervalo. Portanto, é diferenciável em .

Passo 5

Como é contínua em e diferenciável em , o Teorema do Valor Médio se aplica. Isso significa que existe pelo menos um valor de em onde a derivada é igual à taxa média de variação da função nesse intervalo.

Passo 6

Vamos calcular a taxa média de variação:
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Então, a taxa média de variação é:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a derivada de . Podemos usar a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Subtraindo:
Então, a derivada fica:

Passo 8

Segundo o TVM, queremos encontrar tal que:
Ou seja:
O denominador nunca é zero no intervalo , então basta resolver:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando os valores:
Como estamos no intervalo , apenas é válido.

Resposta

O valor de que satisfaz o Teorema do Valor Médio é (aproximadamente 3,236).

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Escreva as frações abaixo como uma fração equivalente com o denominador indicado
(l)
Calcule as expressões
Determine os pontos críticos das seguintes funçöes:
;