Verifique se a funçâo
satisfaz o Teorema do Valor Médio no intervalo indicado
, caso afirmativo, determine todos
tais que
.
em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função
satisfaz o Teorema do Valor Médio no intervalo
. Se sim, vamos encontrar todos os valores de
nesse intervalo que fazem com que
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre continuidade, diferenciabilidade e calcular derivadas.
Passo 2
Primeiro, o Teorema do Valor Médio (TVM) diz que se uma função
é contínua em
e diferenciável em
, então existe pelo menos um ponto
em
onde a derivada
é igual à taxa média de variação da função nesse intervalo, ou seja:
Então, nosso primeiro passo é checar se
é contínua e diferenciável no intervalo dado.
Passo 3
Vamos verificar a continuidade de
no intervalo
. A função é uma fração, e ela é contínua em todos os pontos onde o denominador não é zero. Aqui,
quando
, mas como nosso intervalo começa em 2, que é maior que 1, não temos problemas de descontinuidade. Então,
é contínua em
.
Passo 4
Agora, vamos checar a diferenciabilidade de
no intervalo
. A função é diferenciável em qualquer ponto onde ela é contínua e onde o denominador não se anula, o que já confirmamos que não ocorre nesse intervalo. Portanto,
é diferenciável em
.
Passo 5
Como
é contínua em
e diferenciável em
, o Teorema do Valor Médio se aplica. Isso significa que existe pelo menos um valor de
em
onde a derivada
é igual à taxa média de variação da função nesse intervalo.
Passo 6
Vamos calcular a taxa média de variação:
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Então, a taxa média de variação é:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a derivada de
. Podemos usar a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Subtraindo:
Então, a derivada fica:
Passo 8
Segundo o TVM, queremos encontrar
tal que:
Ou seja:
O denominador
nunca é zero no intervalo
, então basta resolver:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando os valores:
Como estamos no intervalo
, apenas
é válido.
Resposta
O valor de
que satisfaz o Teorema do Valor Médio é
(aproximadamente 3,236).
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Escreva as frações abaixo como uma fração equivalente com o denominador indicado
(l)
Calcule as expressões
Determine os pontos críticos das seguintes funçöes:
;