Mostre que as funçōes abaixo satisfazem as hipóteses do Teorema de Rolle, no intervalo indicado e determine todos os números , tais que .
;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida no intervalo . A missão aqui é mostrar que essa função segue as regras do Teorema de Rolle nesse intervalo e encontrar os valores de em onde a derivada de é zero. Pra isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Rolle e verificar algumas condições básicas.

Passo 2

Primeiro, o Teorema de Rolle diz que se uma função é contínua em um intervalo fechado , diferenciável no intervalo aberto , e os valores da função nas extremidades são iguais ( ), então existe pelo menos um número em tal que a derivada da função em é zero ( ).

Passo 3

Vamos verificar se nossa função satisfaz as condições do Teorema de Rolle:
  1. Continuidade: Polinômios são contínuos em todo lugar, então é contínua em .
  2. Diferenciabilidade: Polinômios também são diferenciáveis em todo lugar, então é diferenciável em .
  3. Valores nas extremidades iguais: Vamos calcular e :
    Então, .

Passo 4

Como todas as condições do Teorema de Rolle estão satisfeitas, podemos afirmar que existe pelo menos um número em onde a derivada de é zero.

Passo 5

Agora, vamos encontrar esse número . Primeiro, precisamos derivar a função :
Queremos encontrar tal que :

Resposta

O número que satisfaz no intervalo é .

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