Mostre que as funçōes abaixo satisfazem as hipóteses do Teorema de Rolle, no intervalo indicado e determine todos os números
, tais que
.
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
definida no intervalo
. A missão aqui é mostrar que essa função segue as regras do Teorema de Rolle nesse intervalo e encontrar os valores de
em
onde a derivada de
é zero. Pra isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Rolle e verificar algumas condições básicas.
Passo 2
Primeiro, o Teorema de Rolle diz que se uma função é contínua em um intervalo fechado
, diferenciável no intervalo aberto
, e os valores da função nas extremidades são iguais (
), então existe pelo menos um número
em
tal que a derivada da função em
é zero (
).
Passo 3
Vamos verificar se nossa função
satisfaz as condições do Teorema de Rolle:
-
Continuidade: Polinômios são contínuos em todo lugar, então
é contínua em . -
Diferenciabilidade: Polinômios também são diferenciáveis em todo lugar, então
é diferenciável em . -
Valores nas extremidades iguais: Vamos calcular
e : Então,.
Passo 4
Como todas as condições do Teorema de Rolle estão satisfeitas, podemos afirmar que existe pelo menos um número
em
onde a derivada de
é zero.
Passo 5
Agora, vamos encontrar esse número
. Primeiro, precisamos derivar a função
:
Queremos encontrar
tal que
:
Resposta
O número
que satisfaz
no intervalo
é
.
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(l)
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