O lado de um triângulo equilátero mede a cm e cresce à razão de k cm / h. Com que velocidade crescerá a área do triângulo?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um triângulo equilátero cujo lado mede a cm e esse lado está aumentando a uma taxa de k cm/h. Queremos descobrir a que velocidade a área desse triângulo está crescendo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas relacionadas a taxas de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da área de um triângulo equilátero. A área A de um triângulo equilátero de lado a é dada por:
Essa fórmula nos permite calcular a área com base no comprimento do lado.

Passo 3

Como o lado a está crescendo com o tempo, a área A também vai mudar com o tempo. Para encontrar a taxa de variação da área em relação ao tempo, vamos derivar a expressão da área em relação ao tempo t.

Passo 4

Derivando a fórmula da área em relação ao tempo, temos:
Aqui, usamos a regra da cadeia na derivação, onde é a taxa de variação do lado a em relação ao tempo.

Passo 5

Simplificando a expressão obtida, ficamos com:
Sabemos que cm/h, então substituímos na equação:

Resposta

A área do triângulo está crescendo à taxa de cm²/h.

Exercícios relacionados

Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
17 g(y) = (7 y + 3)^-2 (2 y - 1)^4
Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
16 f(t) = (3 t - 1)^(-1) (2 t + 5)^(-1)
Encontre a derivada das seguintes funções (se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função) f(x) = 2 e^x - 8^x
Usando a Regra da Cadeia, calcule y', sendo y = sec^2((x^3 - 6)^3)