O lado de um triângulo equilátero mede
e cresce à razão de
. Com que velocidade crescerá a área do triângulo?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um triângulo equilátero cujo lado mede
cm e esse lado está aumentando a uma taxa de
cm/h. Queremos descobrir a que velocidade a área desse triângulo está crescendo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas relacionadas a taxas de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da área de um triângulo equilátero. A área
de um triângulo equilátero de lado
é dada por:
Essa fórmula nos permite calcular a área com base no comprimento do lado.
Passo 3
Como o lado
está crescendo com o tempo, a área
também vai mudar com o tempo. Para encontrar a taxa de variação da área em relação ao tempo, vamos derivar a expressão da área em relação ao tempo
.
Passo 4
Derivando a fórmula da área em relação ao tempo, temos:
Aqui, usamos a regra da cadeia na derivação, onde
é a taxa de variação do lado
em relação ao tempo.
Passo 5
Simplificando a expressão obtida, ficamos com:
Sabemos que
cm/h, então substituímos na equação:
Resposta
A área do triângulo está crescendo à taxa de
cm²/h.
Exercícios relacionados
Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
Encontre a derivada das seguintes funções (se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função)
Usando a Regra da Cadeia, calcule
, sendo