Os lados de um losango medem 4 e um dos seus ângulos 30°. A medida da diagonal menor do losango é.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria sobre losangos! 😃
Enunciado:
Os lados de um losango medem 4 unidades e um dos seus ângulos mede 30°. Queremos descobrir a medida da diagonal menor desse losango.
Os lados de um losango medem 4 unidades e um dos seus ângulos mede 30°. Queremos descobrir a medida da diagonal menor desse losango.
Matéria envolvida:
- Propriedades dos losangos
- Relações trigonométricas nos triângulos
Vamos precisar lembrar que um losango tem todos os lados iguais e que suas diagonais se cruzam formando ângulos retos e que bissetam os ângulos internos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como as diagonais se relacionam com os ângulos do losango.
Em um losango, as diagonais se cruzam formando ângulos de 90° e cada diagonal divide o losango em dois triângulos congruentes. Além disso, cada diagonal biseca os ângulos internos do losango.
Passo 3
Sabemos que um dos ângulos do losango é de 30°. Como os lados do losango são todos iguais, o ângulo oposto também será de 30°. Portanto, o losango tem dois ângulos de 30° e dois ângulos de 150° (pois a soma dos ângulos internos de um losango é 360°).
Passo 4
Vamos focar na diagonal menor. Essa diagonal está relacionada aos ângulos menores do losango (os de 30°).
Imagine que a diagonal menor divide o losango em dois triângulos isósceles com base de 4 unidades e ângulos de 30°.
Passo 5
Para encontrar a diagonal menor, podemos usar uma relação trigonométrica. Em um triângulo, o comprimento da altura pode ser encontrado usando o seno do ângulo.
A fórmula para a diagonal menor $ d $ em um losango é:
onde:
- $ lado $ é o comprimento de um lado do losango (4 unidades)
- $ \theta $ é o ângulo menor (30°)
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 7
Agora, precisamos calcular $ \sin(15°) $. Sabemos que:
Substituindo na equação:
Passo 8
Simplificando, temos:
Se preferir uma aproximação decimal:
Então,
Resposta
A medida da diagonal menor do losango é $ 2\sqrt{6} - 2\sqrt{2} $ unidades, aproximadamente 2,07 unidades.