Os lados de um losango medem 4 e um dos seus ângulos 30°. A medida da diagonal menor do losango é.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria sobre losangos! 😃
Enunciado:
Os lados de um losango medem 4 unidades e um dos seus ângulos mede 30°. Queremos descobrir a medida da diagonal menor desse losango.
Matéria envolvida:
  • Propriedades dos losangos
  • Relações trigonométricas nos triângulos
Vamos precisar lembrar que um losango tem todos os lados iguais e que suas diagonais se cruzam formando ângulos retos e que bissetam os ângulos internos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como as diagonais se relacionam com os ângulos do losango.
Em um losango, as diagonais se cruzam formando ângulos de 90° e cada diagonal divide o losango em dois triângulos congruentes. Além disso, cada diagonal biseca os ângulos internos do losango.

Passo 3

Sabemos que um dos ângulos do losango é de 30°. Como os lados do losango são todos iguais, o ângulo oposto também será de 30°. Portanto, o losango tem dois ângulos de 30° e dois ângulos de 150° (pois a soma dos ângulos internos de um losango é 360°).

Passo 4

Vamos focar na diagonal menor. Essa diagonal está relacionada aos ângulos menores do losango (os de 30°).
Imagine que a diagonal menor divide o losango em dois triângulos isósceles com base de 4 unidades e ângulos de 30°.

Passo 5

Para encontrar a diagonal menor, podemos usar uma relação trigonométrica. Em um triângulo, o comprimento da altura pode ser encontrado usando o seno do ângulo.
A fórmula para a diagonal menor $ d $ em um losango é:
d
onde:
  • $ lado $ é o comprimento de um lado do losango (4 unidades)
  • $ \theta $ é o ângulo menor (30°)

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
d = 2 times 4 times sin(30°2)
d = 8 times sin(15°)

Passo 7

Agora, precisamos calcular $ \sin(15°) $. Sabemos que:
sin(15°)
Substituindo na equação:
sin(15°) = raiz6 - raiz24
d = 8 times raiz6 - raiz24

Passo 8

Simplificando, temos:
d = 2raiz6 - 2raiz2
Se preferir uma aproximação decimal:
raiz6 approx 2.449 e raiz2 approx 1.414
Então,
d approx 2 times 2.449 - 2 times 1.414 = 4.898 - 2.828 = 2.070

Resposta

A medida da diagonal menor do losango é $ 2\sqrt{6} - 2\sqrt{2} $ unidades, aproximadamente 2,07 unidades.

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