A metade superior da elipse 9 x^2 + 16 y^2 = 144 revolve em torno do eixo x, gerando um sólido chamado elipsoide alongado (como uma bola de rugby). Determine o volume deste sólido.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a metade superior de uma elipse definida pela equação . Queremos girar essa metade em torno do eixo para formar um sólido chamado elipsoide alongado e determinar o volume desse sólido. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo Integral, especificamente o método de volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Vamos começar isolando na equação da elipse para facilitar o cálculo.

Passo 3

Como vamos girar a metade superior da elipse em torno do eixo , o volume pode ser calculado usando a fórmula dos discos:
Substituindo pela expressão que encontramos:

Passo 4

Determinar os limites de integração e . Na elipse, quando :
Então, os limites de integração são de a . Porém, devido à simetria, podemos calcular de a e depois multiplicar o resultado por 2:

Passo 5

Vamos integrar a função dentro dos limites:
Avaliado de 0 a 4:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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