A metade superior da elipse
revolve em torno do eixo
, gerando um sólido chamado elipsoide alongado (como uma bola de rugby). Determine o volume deste sólido.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a metade superior de uma elipse definida pela equação
. Queremos girar essa metade em torno do eixo
para formar um sólido chamado elipsoide alongado e determinar o volume desse sólido. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo Integral, especificamente o método de volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Vamos começar isolando
na equação da elipse para facilitar o cálculo.
Passo 3
Como vamos girar a metade superior da elipse em torno do eixo
, o volume
pode ser calculado usando a fórmula dos discos:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Passo 4
Determinar os limites de integração
e
. Na elipse, quando
:
Então, os limites de integração são de
a
. Porém, devido à simetria, podemos calcular de
a
e depois multiplicar o resultado por 2:
Passo 5
Vamos integrar a função dentro dos limites:
Avaliado de 0 a 4:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.