Uma lâmina de corrente,
âx
, está no plano
e uma corrente filamentar (I) está localizada em
. Determine o valor da corrente filamentar (I), bem como o respectivo sentido, se
em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve eletromagnetismo. Temos uma lâmina de corrente com densidade
no plano
e uma corrente filamentar
localizada em
e
. A gente precisa encontrar o valor dessa corrente
e o seu sentido, sabendo que o campo magnético total
no ponto
é zero. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Biot-Savart e o princípio de superposição dos campos magnéticos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o campo magnético gerado pela lâmina de corrente no ponto dado. Para uma lâmina infinita com densidade de corrente
, o campo magnético
é dado por:
Onde
é a direção perpendicular à lâmina. No nosso caso, a lâmina está no plano
e a densidade de corrente está na direção
, então o campo gerado por ela será na direção
.
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos calcular o campo magnético gerado pela corrente filamentar
no ponto
. Para uma corrente pontual, usamos a Lei de Biot-Savart, que em situações de simetria circular dá:
Onde
é a distância do ponto à corrente e
é a direção do campo, que depende do sentido da corrente.
No nosso caso, a corrente está em
e
, e o ponto de interesse está em
. A distância
é a diferença ao longo do eixo
, então:
Portanto:
A direção
será na direção
ou
, dependendo do sentido de
.
Passo 4
Sabemos que o campo magnético total no ponto deve ser zero:
Substituindo os valores que encontramos:
Para que a soma seja zero, os campos devem se anular mutuamente. Observando as direções, vemos que há um equívoco: os campos estão em direções perpendiculares (
e
). Isso indica que precisamos reconsiderar a contribuição do campo da corrente filamentar.
Na verdade, a corrente filamentar gerará um campo circular ao redor dela. No ponto considerado, o campo gerado pela corrente filamentar será na direção oposta ao campo da lâmina para que se anulem.
Portanto, para que
, o campo da corrente filamentar deve ser igual em magnitude e oposto ao da lâmina:
Resposta
Resolvendo para
:
Portanto, a corrente filamentar tem valor de
, indicando que seu sentido é contrário ao inicialmente considerado para que o campo magnético resultante seja zero no ponto especificado.