Uma lâmina de corrente, K=8,0 âx A / m, está no plano z=0 e uma corrente filamentar (I) está localizada em y=0 e z=3 m. Determine o valor da corrente filamentar (I), bem como o respectivo sentido, se H=0 em (0 ; 0 ; 0,5 m).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve eletromagnetismo. Temos uma lâmina de corrente com densidade K = 8,0,ax,A/m no plano z=0 e uma corrente filamentar I localizada em y=0 e z=3,m. A gente precisa encontrar o valor dessa corrente I e o seu sentido, sabendo que o campo magnético total H no ponto (0,,0,,0,5,m) é zero. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Biot-Savart e o princípio de superposição dos campos magnéticos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo magnético gerado pela lâmina de corrente no ponto dado. Para uma lâmina infinita com densidade de corrente K, o campo magnético Hlâminaâ é dado por:
Hlâmina = K2,n â
Onde n é a direção perpendicular à lâmina. No nosso caso, a lâmina está no plano z=0 e a densidade de corrente está na direção x, então o campo gerado por ela será na direção y.
Substituindo os valores:
Hlâmina = 8,0,A/m2,ay = 4,0,ay,A/m â

Passo 3

Agora, vamos calcular o campo magnético gerado pela corrente filamentar I no ponto (0,,0,,0,5,m). Para uma corrente pontual, usamos a Lei de Biot-Savart, que em situações de simetria circular dá:
Hfilamentar = I2pi r,phi
Onde r é a distância do ponto à corrente e phi é a direção do campo, que depende do sentido da corrente.
No nosso caso, a corrente está em y=0 e z=3,m, e o ponto de interesse está em z=0,5,m. A distância r é a diferença ao longo do eixo z, então:
r = 3,m - 0,5,m = 2,5,m
Portanto:
Hfilamentar = I2pi times 2,5,phi
A direção phi será na direção x ou -x, dependendo do sentido de I.

Passo 4

Sabemos que o campo magnético total no ponto deve ser zero:
Htotal = Hlâmina + Hfilamentar = 0 â
Substituindo os valores que encontramos:
4,0,ay + I5pi,ax = 0
Para que a soma seja zero, os campos devem se anular mutuamente. Observando as direções, vemos que há um equívoco: os campos estão em direções perpendiculares ( ay e ax). Isso indica que precisamos reconsiderar a contribuição do campo da corrente filamentar.
Na verdade, a corrente filamentar gerará um campo circular ao redor dela. No ponto considerado, o campo gerado pela corrente filamentar será na direção oposta ao campo da lâmina para que se anulem.
Portanto, para que Htotal = 0, o campo da corrente filamentar deve ser igual em magnitude e oposto ao da lâmina:
I5pi = -4,0

Resposta

Resolvendo para I:
I = -4,0 times 5pi = -20pi,A
Portanto, a corrente filamentar tem valor de -20pi,A, indicando que seu sentido é contrário ao inicialmente considerado para que o campo magnético resultante seja zero no ponto especificado.

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