Uma determinada configuração de carga, esfericamente simétrica e imersa no espaço livre, produz um campo elétrico fornecido em coordenadas esféricas por onde é uma constante.
d) Calcule a energia armazenada na carga por meio da integral

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A gente tem uma configuração de carga que é simétrica esfericamente e está no espaço livre. O exercício pede para calcular a energia armazenada nessa carga usando a integral . Isso está dentro da matéria de Eletrostática, mais especificamente no estudo da energia de um campo elétrico. Para resolver, vamos precisar entender como a densidade de carga ( ) e o potencial elétrico ( ) interagem, além de usar integrais em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma distribuição esfericamente simétrica com densidade de carga constante , o potencial elétrico em coordenadas esféricas depende apenas da distância do centro. A expressão geral para a energia armazenada no campo elétrico é dada por:

Passo 3

Como a densidade de carga é constante e igual a , podemos simplificar a integral:
Agora, precisamos expressar o potencial em termos de .

Passo 4

Para uma carga esfericamente simétrica, o potencial fora da carga (para , onde é o raio da distribuição de carga) é:
Dentro da distribuição de carga (para ):
Onde é a carga total.

Passo 5

Vamos integrar o potencial sobre todo o volume da distribuição. Devido à simetria esférica, usaremos coordenadas esféricas para a integração:

Passo 6

Substituindo na integral:
Simplificando termos constantes:

Passo 7

Calculando a integral:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão de :
Lembrando que :

Passo 9

Multiplicando os coeficientes:

Resposta

A energia armazenada na configuração de carga é:

Exercícios relacionados

Seja,
a) Determine o fluxo líquido que atravessa as superfícies e m .
Uma lâmina finita , sobre o plano , tem uma densidade de carga dada por . Determine
a) A carga total na lâmina;
Um anel dado por e está carregado com uma distribuição de carga uniforme de .
b) Se duas cargas pontuais idênticas forem colocadas em e , nas proximidades do anel, determine o valor de tal que em .
Um disco circular de raio a está uniformemente carregado com . Considere o disco no plano com seu eixo ao longo do eixo .
e) Se h << a, demonstre que o campo elétrico é similar ao um campo de uma carga pontual.