Uma determinada configuração de carga, esfericamente simétrica e imersa no espaço livre, produz um campo elétrico fornecido em coordenadas esféricas por onde rho0 é uma constante.
d) Calcule a energia armazenada na carga por meio da integral
We=12 integralv rhov V d v

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A gente tem uma configuração de carga que é simétrica esfericamente e está no espaço livre. O exercício pede para calcular a energia armazenada nessa carga usando a integral . Isso está dentro da matéria de Eletrostática, mais especificamente no estudo da energia de um campo elétrico. Para resolver, vamos precisar entender como a densidade de carga ( ) e o potencial elétrico ( ) interagem, além de usar integrais em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma distribuição esfericamente simétrica com densidade de carga constante We = 12 integralV rhov V dv , o potencial elétrico em coordenadas esféricas depende apenas da distância do centro. A expressão geral para a energia armazenada no campo elétrico é dada por:

Passo 3

Como a densidade de carga We = 12 rho0 integralV V dv é constante e igual a , podemos simplificar a integral:
Agora, precisamos expressar o potencial em termos de .

Passo 4

Para uma carga esfericamente simétrica, o potencial V(r) = 14pivarepsilon0 cdot Qr fora da carga (para V(r) = 14pivarepsilon0 ( 3Q2R - Q r^22R^3 ) , onde é o raio da distribuição de carga) é:
Dentro da distribuição de carga (para ):
Onde é a carga total.

Passo 5

Vamos integrar o potencial integralV V dv = integral0^R V(r) cdot 4pi r^2 dr sobre todo o volume da distribuição. Devido à simetria esférica, usaremos coordenadas esféricas para a integração:

Passo 6

Substituindo integralV V dv = integral0^R ( 14pivarepsilon0 ( 3Q2R - Q r^22R^3 ) ) 4pi r^2 dr na integral:
integralV V dv = Q2varepsilon0 R integral0^R ( 3 - r^2R^2 ) r^2 dr
Simplificando termos constantes:

Passo 7

Calculando a integral:
integral0^R ( 3r^2 - r^4R^2 ) dr = 3 cdot R^33 - 1R^2 cdot R^55 = R^3 - R^35 = 45 R^3

Passo 8

Substituindo de volta na expressão de We = 12 rho0 cdot Q2varepsilon0 R cdot 45 R^3 = 12 cdot rho0 Q R^2varepsilon0 cdot 45 :
We = 12 cdot rho0 cdot 43 pi R^3 cdot R^2varepsilon0 cdot 45 = 12 cdot 43 pi rho0^2 R^5varepsilon0 cdot 45
Lembrando que :

Passo 9

Multiplicando os coeficientes:
We = 12 cdot 1615 pi rho0^2 R^5varepsilon0 = 815 pi rho0^2 R^5varepsilon0

Resposta

A energia armazenada na configuração de carga é:
We = 815 pi rho0^2 R^5varepsilon0

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