Uma determinada configuração de carga, esfericamente simétrica e imersa no espaço livre, produz um campo elétrico fornecido em coordenadas esféricas por onde
é uma constante.
d) Calcule a energia armazenada na carga por meio da integral
d) Calcule a energia armazenada na carga por meio da integral
Passo 1
Beleza, vamos por partes! A gente tem uma configuração de carga que é simétrica esfericamente e está no espaço livre. O exercício pede para calcular a energia armazenada nessa carga usando a integral
. Isso está dentro da matéria de Eletrostática, mais especificamente no estudo da energia de um campo elétrico. Para resolver, vamos precisar entender como a densidade de carga (
) e o potencial elétrico (
) interagem, além de usar integrais em coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma distribuição esfericamente simétrica com densidade de carga constante
, o potencial elétrico
em coordenadas esféricas depende apenas da distância
do centro. A expressão geral para a energia armazenada no campo elétrico é dada por:
Passo 3
Como a densidade de carga
é constante e igual a
, podemos simplificar a integral:
Agora, precisamos expressar o potencial
em termos de
.
Passo 4
Para uma carga esfericamente simétrica, o potencial
fora da carga (para
, onde
é o raio da distribuição de carga) é:
Dentro da distribuição de carga (para
):
Onde
é a carga total.
Passo 5
Vamos integrar o potencial
sobre todo o volume
da distribuição. Devido à simetria esférica, usaremos coordenadas esféricas para a integração:
Passo 6
Substituindo
na integral:
Simplificando termos constantes:
Passo 7
Calculando a integral:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão de
:
Lembrando que
:
Passo 9
Multiplicando os coeficientes:
Resposta
A energia armazenada na configuração de carga é:
Exercícios relacionados
Seja,
a) Determine o fluxo líquido que atravessa as superfícies
e
m .
Uma lâmina finita
, sobre o plano
, tem uma densidade de carga dada por
. Determine
a) A carga total na lâmina;
a) A carga total na lâmina;
Um anel dado por
e
está carregado com uma distribuição de carga uniforme de
.
b) Se duas cargas pontuais idênticas forem colocadas em
e
, nas proximidades do anel, determine o valor de
tal que
em
.
b) Se duas cargas pontuais idênticas
Um disco circular de raio a está uniformemente carregado com
. Considere o disco no plano
com seu eixo ao longo do eixo
.
e) Se h << a, demonstre que o campo elétrico é similar ao um campo de uma carga pontual.
e) Se h << a, demonstre que o campo elétrico é similar ao um campo de uma carga pontual.