Lâminas uniformes de corrente estão posicionadas no espaço livre conforme se segue:
em
. Encontre o vetor força por metro de comprimento exercido em um filamento de corrente pelo qual circulam 7 mA na direção
se o filamento está posicionado em: (b)
,
;
Passo 1
Beleza, então vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos três lâminas uniformes de corrente posicionadas no espaço livre nos planos $ y = 0 $, $ y = 1 $ e $ y = -1 $ com densidades de corrente específicas:
- Em $ y = 0 $: $ 8 \mathbf{a}_{2} , A/m $
- Em $ y = 1 $: $ -4 \mathbf{a}_{2} , A/m $
- Em $ y = -1 $: $ -4 \mathbf{a}_{z} , A/m $
Queremos encontrar o vetor força por metro de comprimento exercido em um filamento de corrente de $ 7 , mA $ na direção $ \mathbf{a}_{x} $ posicionado em $ y = 0,5 $, $ z = 0 $.
Para resolver isso, vamos precisar entender como as correntes criam campos magnéticos e como esse campo interage com outra corrente para produzir uma força. Vamos usar a Lei de Biot-Savart e a Lei de Ampère para encontrar o campo magnético gerado pelas lâminas, e então calcular a força usando a fórmula $ \mathbf{F} = I \mathbf{L} \times \mathbf{B} $.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o campo magnético gerado por cada lâmina de corrente no ponto onde o filamento está localizado ($ y = 0,5 $, $ z = 0 $).
A fórmula para o campo magnético $ \mathbf{B} $ gerado por uma lâmina infinita de corrente é:
onde:
- $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($ 4\pi \times 10^{-7} , T·m/A $)
- $ K $ é a densidade de corrente superficial
- $ \mathbf{n} $ é o vetor normal à lâmina
Vamos aplicar isso para cada lâmina.
Passo 3
Lâmina em $ y = 0 $:
- Densidade de corrente: $ 8 \mathbf{a}_{2} , A/m $
- Vetor normal: $ \mathbf{a}_{y} $
Calculando o campo magnético:
Usando o produto vetorial $ \mathbf{a}{2} \times \mathbf{a}{y} = \mathbf{a}_{z} $:
Lâmina em $ y = 1 $:
- Densidade de corrente: $ -4 \mathbf{a}_{2} , A/m $
- Vetor normal: $ \mathbf{a}_{y} $
Calculando o campo magnético:
Lâmina em $ y = -1 $:
- Densidade de corrente: $ -4 \mathbf{a}_{z} , A/m $
- Vetor normal: $ -\mathbf{a}_{y} $ (já que a lâmina está em $ y = -1 $)
Calculando o campo magnético:
Passo 4
Agora, somamos os campos magnéticos de todas as lâminas no ponto $ y = 0,5 $, $ z = 0 $:
Passo 5
Agora que temos o campo magnético total no ponto onde o filamento está, vamos calcular a força por metro de comprimento exercida sobre ele. A fórmula para a força é:
onde:
- $ I = 7 , mA = 7 \times 10^{-3} , A $
- $ \mathbf{L} $ é o vetor direção da corrente, que é $ \mathbf{a}_{x} $
Vamos calcular o produto vetorial:
Passo 6
Calculando os produtos vetoriais individualmente:
- $ \mathbf{a}{x} \times \mathbf{a}{x} = 0 $ (produto vetorial de um vetor com ele mesmo é zero)
- $ \mathbf{a}{x} \times \mathbf{a}{z} = -\mathbf{a}_{y} $
Então:
Passo 7
Substituindo o valor de $ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} , T·m/A $:
Simplificando:
Resposta
A força por metro de comprimento exercida no filamento é aproximadamente $ \mathbf{F}/L = -1,76 \times 10^{-8} , \mathbf{a}_{y} , N/m $.