Lâminas uniformes de corrente estão posicionadas no espaço livre conforme se segue: 8 a2 A / mem y=0,-4 a2 A / mem y=1 e-4 az A / m em y=-1. Encontre o vetor força por metro de comprimento exercido em um filamento de corrente pelo qual circulam 7 mA na direção aL se o filamento está posicionado em: (b) y=0,5, z=0 e aL=ax;

Passo 1

Beleza, então vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos três lâminas uniformes de corrente posicionadas no espaço livre nos planos $ y = 0 $, $ y = 1 $ e $ y = -1 $ com densidades de corrente específicas:
  • Em $ y = 0 $: $ 8 \mathbf{a}_{2} , A/m $
  • Em $ y = 1 $: $ -4 \mathbf{a}_{2} , A/m $
  • Em $ y = -1 $: $ -4 \mathbf{a}_{z} , A/m $
Queremos encontrar o vetor força por metro de comprimento exercido em um filamento de corrente de $ 7 , mA $ na direção $ \mathbf{a}_{x} $ posicionado em $ y = 0,5 $, $ z = 0 $.
Para resolver isso, vamos precisar entender como as correntes criam campos magnéticos e como esse campo interage com outra corrente para produzir uma força. Vamos usar a Lei de Biot-Savart e a Lei de Ampère para encontrar o campo magnético gerado pelas lâminas, e então calcular a força usando a fórmula $ \mathbf{F} = I \mathbf{L} \times \mathbf{B} $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo magnético gerado por cada lâmina de corrente no ponto onde o filamento está localizado ($ y = 0,5 $, $ z = 0 $).
A fórmula para o campo magnético $ \mathbf{B} $ gerado por uma lâmina infinita de corrente é:
y = 0,5
onde:
  • $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($ 4\pi \times 10^{-7} , T·m/A $)
  • $ K $ é a densidade de corrente superficial
  • $ \mathbf{n} $ é o vetor normal à lâmina
Vamos aplicar isso para cada lâmina.

Passo 3

Lâmina em $ y = 0 $:
  • Densidade de corrente: $ 8 \mathbf{a}_{2} , A/m $
  • Vetor normal: $ \mathbf{a}_{y} $
Calculando o campo magnético:
y = 0
Usando o produto vetorial $ \mathbf{a}{2} \times \mathbf{a}{y} = \mathbf{a}_{z} $:
8 a2 , A/m
Lâmina em $ y = 1 $:
  • Densidade de corrente: $ -4 \mathbf{a}_{2} , A/m $
  • Vetor normal: $ \mathbf{a}_{y} $
Calculando o campo magnético:
ay
B1 = mu0 times 8 a2 times ay2 = mu0 times 82 (a2 times ay)
Lâmina em $ y = -1 $:
  • Densidade de corrente: $ -4 \mathbf{a}_{z} , A/m $
  • Vetor normal: $ -\mathbf{a}_{y} $ (já que a lâmina está em $ y = -1 $)
Calculando o campo magnético:
a2 times ay = az
B1 = 4 mu0 (az)

Passo 4

Agora, somamos os campos magnéticos de todas as lâminas no ponto $ y = 0,5 $, $ z = 0 $:
y = 0,5

Passo 5

Agora que temos o campo magnético total no ponto onde o filamento está, vamos calcular a força por metro de comprimento exercida sobre ele. A fórmula para a força é:
F/L = I L times B
onde:
  • $ I = 7 , mA = 7 \times 10^{-3} , A $
  • $ \mathbf{L} $ é o vetor direção da corrente, que é $ \mathbf{a}_{x} $
Vamos calcular o produto vetorial:
I = 7 , mA = 7 times 10^-3 , A

Passo 6

Calculando os produtos vetoriais individualmente:
  1. $ \mathbf{a}{x} \times \mathbf{a}{x} = 0 $ (produto vetorial de um vetor com ele mesmo é zero)
  2. $ \mathbf{a}{x} \times \mathbf{a}{z} = -\mathbf{a}_{y} $
Então:
ax times ax = 0

Passo 7

Substituindo o valor de $ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} , T·m/A $:
mu0 = 4pi times 10^-7 , T·m/A
Simplificando:
F/L = -14 times 10^-3 times 4pi times 10^-7 ay = -56pi times 10^-10 ay , N/m

Resposta

A força por metro de comprimento exercida no filamento é aproximadamente $ \mathbf{F}/L = -1,76 \times 10^{-8} , \mathbf{a}_{y} , N/m $.

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