Um método comumente usado para prender duas peças é chamado de ajuste por contração. A seção transversal de uma barra de aço (alpha=12 times 10^-6 ^circ C^-1) possui um diâmetro de 2,0026 cm e uma placa plana contém um furo cujo diâmetro é de 2,0000 cm. A barra é resfriada de modo que ela consegue se encaixar no furo sem folga. Quando a barra volta a se aquecer, a enorme tensão térmica exercida pela placa mantém a barra bem presa à placa. De quantos graus da escala Celsius deveria ser resfriada a barra?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um método chamado ajuste por contração, que usa a expansão térmica dos metais para prender peças. Aqui, temos uma barra de aço com certo diâmetro e uma placa com um furo um pouco menor. Precisamos descobrir de quantos graus Celsius a barra deve ser resfriada para que ela encaixe no furo sem folgar. Para isso, vamos usar o conceito de dilatação térmica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a dilatação térmica faz. Quando um material como o aço é aquecido, ele se expande; quando é resfriado, encolhe. A quantidade que ele muda de tamanho depende do coeficiente de dilatação térmica ( alpha), da temperatura que muda ( De) e do tamanho original do material.
A fórmula da dilatação linear é:
De
Onde:
  • De é a variação no comprimento (nesse caso, no diâmetro).
  • L0 é o comprimento original.
  • alpha é o coeficiente de dilatação.
  • De é a variação de temperatura.

Passo 3

No nosso problema, queremos que a barra encolha de tal forma que o diâmetro dela passe de 2,0026 cm para 2,0000 cm quando esfriada. Ou seja, a diferença de diâmetro ( De) será:
De

Passo 4

Agora, vamos relacionar essa diferença de diâmetro com a variação de temperatura usando a fórmula da dilatação linear. Reorganizando a fórmula para encontrar De:
De
Onde:
  • d0 é o diâmetro inicial da barra, que é 2,0026 cm.
  • alpha = 12 times 10^-6,^circC^-1

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
De
Vamos calcular o denominador primeiro:
2,0026,cm times 12 times 10^-6,^circC^-1 = 0,0000240312,cm/^circC

Passo 6

Agora, dividindo a diferença de diâmetro pelo resultado acima:
De

Resposta

A barra deve ser resfriada em aproximadamente 108,1 °C para que ela encaixe no furo sem folga.

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