O custo de produção de carros em uma montadora é dado pela seguinte fórmula, onde x é o número de carros produzidos: C(x) = 1750 + 6x - 0,04x² + 0,0003x³. O custo marginal da produção é dado pela derivada da função de custo no respectivo ponto de interesse. Qual é o custo marginal quando são produzidos 175 carros por dia? E na situação onde são produzidos 300 carros?

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma função que mostra o custo de produzir carros em uma montadora: $ C(x) = 1750 + 6x - 0,04x^2 + 0,0003x^3 $. O $ x $ representa o número de carros produzidos. A pergunta quer saber qual é o custo marginal, que basicamente é a variação do custo quando a gente produz mais um carro, nos pontos onde são produzidos 175 e 300 carros por dia. Para isso, vamos precisar calcular a derivada dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função em um ponto nos diz a taxa de variação daquela função naquele ponto. Aqui, a derivada da função de custo nos dá o custo marginal.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de $ C(x) $. A função é:
C(x)
Aplicando as regras de derivação:
  • A derivada de uma constante é 0.
  • A derivada de $ ax^n $ é $ a \cdot n \cdot x^{n-1} $.
Então:
C(x) = 1750 + 6x - 0,04x^2 + 0,0003x^3
Simplificando:
ax^n

Passo 4

Agora, vamos calcular o custo marginal para $ x = 175 $ carros.
x = 175
Calculando cada termo:
C'(175) = 6 - 0,08 times 175 + 0,0009 times 175^2
0,08 times 175 = 14
175^2 = 30625
Então:
0,0009 times 30625 = 27,5625

Passo 5

Agora, vamos calcular o custo marginal para $ x = 300 $ carros.
x = 300
Calculando cada termo:
C'(300) = 6 - 0,08 times 300 + 0,0009 times 300^2
0,08 times 300 = 24
300^2 = 90000
Então:
0,0009 times 90000 = 81

Resposta

O custo marginal quando são produzidos 175 carros por dia é R$19,56 e quando são produzidos 300 carros por dia é R$63,00.

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