Lançam-se, simultaneamente, uma moeda de um real e uma de um dólar. Em cada tentativa anotou-se o resultado, cujos dados estão resumidos na tabela abaixo:
Real
Dólar Cara Coroa Total
Cara 24 22 46
Coroa 28 26 54
Total 52 48 100
(a) Esses dados sugerem que os resultados da moeda de um real e de um dólar estão associados?
(b) Atribua para a ocorrência cara o valor 0 e para a ocorrência de coroa o valor 1. Seja X o resultado do real e Y o resultado do dólar, calcule a correlação entre X e Y. Essa medida está de acordo com a resposta que você deu anteriormente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde lançamos duas moedas ao mesmo tempo: uma de um real e outra de um dólar. Anotamos os resultados em uma tabela que mostra quantas vezes saiu cara ou coroa em cada moeda durante 100 tentativas. A gente precisa resolver duas partes:
(a) Ver se os resultados das duas moedas estão associados, ou seja, se o resultado de uma afeta o resultado da outra.
(b) Atribuir valores numéricos para cara (0) e coroa (1), criar variáveis e para cada moeda e calcular a correlação entre elas para ver se essa medida confirma o que respondemos na parte (a).
Pra resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade, tabelas de contingência e correlação estatística.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a). Queremos saber se os resultados das duas moedas estão associados. Isso significa verificar se o resultado de uma moeda influencia o resultado da outra ou se elas são independentes.
Para isso, vamos usar uma tabela de contingência que já foi fornecida:
Real
Dólar Cara Coroa Total
Cara 24 22 46
Coroa 28 26 54
Total 52 48 100
Se as duas moedas fossem independentes, esperaríamos que a probabilidade de sair cara ou coroa em uma não influenciasse a outra. Para verificar isso, vamos calcular as frequências esperadas para cada combinação, assumindo independência.

Passo 3

As frequências esperadas para cada célula da tabela sob a hipótese de independência são calculadas multiplicando as margens correspondentes e dividindo pelo total.
Por exemplo, para cara em dólar e cara em real:
Ecara,dólar, cara,real = (Total,cara,dólar) times (Total,cara,real)Total,>=ral = 46 times 52100 = 23,92 óó
Fazendo o mesmo para as outras combinações:
Ecara,dólar, coroa,real = 46 times 48100 = 22,08 ó
Ecoroa,dólar, cara,real = 54 times 52100 = 28,08 ó
Ecoroa,dólar, coroa,real = 54 times 48100 = 25,92 ó

Passo 4

Agora, vamos comparar as frequências observadas com as esperadas:
Real
Dólar Cara Coroa Total
Cara 24 (23,92) 22 (22,08) 46
Coroa 28 (28,08) 26 (25,92) 54
Total 52 48 100
Os valores observados estão bem próximos dos esperados. Para confirmar se essa diferença é significativa, normalmente usaríamos o teste do qui-quadrado, mas como as diferenças são pequenas, podemos inferir que não há associação significativa entre os resultados das duas moedas.

Passo 5

Vamos para a parte (b). Primeiro, atribuímos valores numéricos: cara = 0 e coroa = 1. Assim, definimos rhoXY = E[XY] - E[X]E[Y]raizVar(X) Var(Y) para a moeda de real e para a moeda de dólar.
Para calcular a correlação entre e , usamos a fórmula da correlação de Pearson:
Primeiro, precisamos calcular as médias e as variâncias de e , além de .

Passo 6

Calculando E[X] = (0 times 24) + (1 times 28) + (0 times 22) + (1 times 26)100 = 0 + 28 + 0 + 26100 = 0,54 :
E[Y] = (0 times 24) + (1 times 22) + (0 times 28) + (1 times 26)100 = 0 + 22 + 0 + 26100 = 0,48
Calculando E[XY] = (0 times 0 times 24) + (0 times 1 times 22) + (1 times 0 times 28) + (1 times 1 times 26)100 = 0 + 0 + 0 + 26100 = 0,26 :
Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = E[X] - (0,54)^2 = 0,54 - 0,2916 = 0,2484
Calculando Var(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2 = E[Y] - (0,48)^2 = 0,48 - 0,2304 = 0,2496 :
Agora, calculamos as variâncias:

Passo 7

Agora, aplicamos na fórmula da correlação:
rhoXY = 0,26 - (0,54 times 0,48)raiz0,2484 times 0,2496 = 0,26 - 0,2592raiz0,0620 approx 0,00080,2492 approx 0,0032

Resposta

A correlação entre e é aproximadamente 0,0032, o que indica praticamente nenhuma relação entre os resultados das duas moedas. Isso está de acordo com a resposta da parte (a), onde concluímos que os resultados das moedas não estão associados.

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