Lançam-se três moedas. Verificar se são independentes os eventos:
A: saída de cara na primeira moeda.
B: Saída de coroa na segunda e cara na terceira moeda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um exercício de probabilidade. A situação é que lançamos três moedas e temos dois eventos para analisar:
  • Evento A: Saiu cara na primeira moeda.
  • Evento B: Saiu coroa na segunda moeda e cara na terceira moeda.
Precisamos verificar se esses dois eventos são independentes. Para isso, vamos usar conceitos básicos de probabilidade e entender o que significa a independência entre eventos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa eventos independentes. Dois eventos são independentes se a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro ocorrer. Em termos de probabilidade, isso significa que:
P(A cap B) = P(A) times P(B)
Ou seja, a probabilidade de ambos os eventos acontecerem juntos é igual ao produto das probabilidades individuais.

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de cada evento separadamente.
Probabilidade do Evento A (sair cara na primeira moeda):
Como temos uma moeda justo, a chance de sair cara é 50%, ou seja:
P(A) = 12
Probabilidade do Evento B (sair coroa na segunda e cara na terceira moeda):
Aqui, temos dois lançamentos que precisam acontecer: coroa na segunda e cara na terceira. Cada lançamento é independente e tem probabilidade de 50% para cada resultado. Então:
P(B) = P(coroa na segunda) times P(cara na terceira) = 12 times 12 = 14

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade de ambos os eventos acontecerem ao mesmo tempo, ou seja, a probabilidade de sair cara na primeira moeda, coroa na segunda e cara na terceira.
Como são eventos independentes, a probabilidade conjunta é o produto das probabilidades individuais:
P(A cap B) = P(A) times P(coroa na segunda) times P(cara na terceira) = 12 times 12 times 12 = 18

Passo 5

Agora, vamos verificar a condição de independência:
P(A) times P(B) = 12 times 14 = 18
E vimos que:
P(A cap B) = 18
Como , isso confirma que os eventos A e B são independentes.

Resposta

Sim, os eventos A e B são independentes.

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