Determine
, tal que os vetores
e
sejam ortogonais:
a)
e
;
b)
e
.
a)
b)
Passo 1
Vamos resolver um exercício de vetores onde precisamos encontrar o valor de
que torna dois vetores ortogonais. Vetores ortogonais são aqueles que formam um ângulo de 90 graus entre si, e isso acontece quando o produto interno (ou produto escalar) entre eles é igual a zero. Para resolver, vamos precisar saber como calcular o produto escalar e igualá-lo a zero para encontrar
.
Passo 2
Parte a) Temos os vetores
e
. Para que esses vetores sejam ortogonais, o produto escalar deles deve ser zero.
Passo 3
O produto escalar de
e
é calculado da seguinte forma:
Vamos calcular cada termo:
Somando tudo:
Passo 4
Para que os vetores sejam ortogonais, o produto escalar deve ser igual a zero:
Vamos resolver para
:
Passo 5
Parte b) Agora, temos os vetores
e
. Novamente, queremos que o produto escalar deles seja zero.
Passo 6
Calculamos o produto escalar de
e
:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Passo 7
Para que os vetores sejam ortogonais:
Resolvendo para
:
Resposta
a)
b)
ou