Determine , tal que os vetores e sejam ortogonais:
a) e ;
b) e .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de vetores onde precisamos encontrar o valor de que torna dois vetores ortogonais. Vetores ortogonais são aqueles que formam um ângulo de 90 graus entre si, e isso acontece quando o produto interno (ou produto escalar) entre eles é igual a zero. Para resolver, vamos precisar saber como calcular o produto escalar e igualá-lo a zero para encontrar .

Passo 2

Parte a) Temos os vetores e . Para que esses vetores sejam ortogonais, o produto escalar deles deve ser zero.

Passo 3

O produto escalar de e é calculado da seguinte forma:
Vamos calcular cada termo:
Somando tudo:

Passo 4

Para que os vetores sejam ortogonais, o produto escalar deve ser igual a zero:
Vamos resolver para :

Passo 5

Parte b) Agora, temos os vetores e . Novamente, queremos que o produto escalar deles seja zero.

Passo 6

Calculamos o produto escalar de e :
Calculando cada termo:
Somando tudo:

Passo 7

Para que os vetores sejam ortogonais:
Resolvendo para :

Resposta

a)
b) ou

Exercícios relacionados

(1,0) Considere agora a seguinte matriz antissimétrica:
Verifique se essa matriz é ou não invertível.
Seja um vetor ortogonal a cada um dos vetores e . Use as propriedades do produto interno para mostrar que é ortogonal ao vetor , quaisquer que sejam os escalares .
para todo e . Defina a aplicação
onde (este é o produto interno canônico de ).
a) Prove que é um produto interno.
b) Sendo , calcule o ângulo e a distância entre as funções .
c) Calcule o ângulo entre os vetores e , onde são tais que