Determine x, tal que os vetores u e v sejam ortogonais:
a) u=(2, x,-1) e v=(1,3,-1);
b) u=(1,3,-2 x, 5) e v=(1,-3,2,5).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de vetores onde precisamos encontrar o valor de que torna dois vetores ortogonais. Vetores ortogonais são aqueles que formam um ângulo de 90 graus entre si, e isso acontece quando o produto interno (ou produto escalar) entre eles é igual a zero. Para resolver, vamos precisar saber como calcular o produto escalar e igualá-lo a zero para encontrar .

Passo 2

Parte a) Temos os vetores e . Para que esses vetores sejam ortogonais, o produto escalar deles deve ser zero.

Passo 3

O produto escalar de u cdot v = (2)(1) + (x)(3) + (-1)(-1) e 2 times 1 = 2 é calculado da seguinte forma:
x times 3 = 3x
Vamos calcular cada termo:
-1 times -1 = 1
2 + 3x + 1 = 3x + 3
Somando tudo:

Passo 4

Para que os vetores sejam ortogonais, o produto escalar deve ser igual a zero:
3x + 3 = 0
Vamos resolver para 3x = -3 implies x = -1 :

Passo 5

Parte b) Agora, temos os vetores e . Novamente, queremos que o produto escalar deles seja zero.

Passo 6

Calculamos o produto escalar de u cdot v = (1)(1) + (3)(-3) + (-2x)(2) + (5)(5) e 1 times 1 = 1 :
3 times -3 = -9
Calculando cada termo:
-2x times 2 = -4x
5 times 5 = 25
1 - 9 - 4x + 25 = -4x + 17
Somando tudo:

Passo 7

Para que os vetores sejam ortogonais:
-4x + 17 = 0
Resolvendo para -4x = -17 implies x = 174 = 4,25 :

Resposta

a)
b) ou

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