Uma lata contém feijões pretos e brancos. O seguinte processo é repetido tanto quanto se possa: aleatoriamente são retirados dois feijões da lata; se eles são da mesma cor, ambos são jogados fora e um feijão preto é colocado na lata (supondo que se dispõe de um suprimento ilimitado de feijões pretos); se eles são de cor diferente, o feijão preto é jogado fora e o feijão branco é colocado de volta na lata.
Determine as possíveis relações entre o conteúdo inicial e o conteúdo final da lata.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma lata com feijões pretos e brancos, e um processo que envolve retirar dois feijões de cada vez e agir de acordo com as cores deles. Nosso objetivo é descobrir como a quantidade inicial de feijões pretos e brancos influencia a quantidade final após repetirmos esse processo várias vezes. Para resolver isso, vamos precisar entender como as quantidades de feijões mudam a cada etapa e identificar possíveis padrões ou invariantes que nos ajudem a determinar as relações entre o início e o fim do processo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece em cada retirada de dois feijões:
  1. Dois feijões da mesma cor:
    • Se retirarmos dois feijões pretos ou dois feijões brancos, descartamos ambos e adicionamos um feijão preto.
    • Mudança: A quantidade total de feijões diminui em 1 (removemos 2 e adicionamos 1).
    • Exemplo: 2 pretos → remove 2 pretos, adiciona 1 preto → total de pretos diminui em 1.
  2. Dois feijões de cores diferentes:
    • Retiramos um feijão preto e um branco, descartamos o preto e retornamos o branco.
    • Mudança: A quantidade de feijões pretos diminui em 1, e a quantidade de brancos permanece a mesma.
    • Exemplo: 1 preto e 1 branco → remove 1 preto, mantém o branco → total de pretos diminui em 1.

Passo 3

Vamos considerar o impacto dessas mudanças na quantidade total de feijões e nas quantidades de cada cor:
  • Quantidade Total de Feijões:
    • Em ambos os casos, a quantidade total de feijões diminui em 1 a cada operação.
  • Quantidade de Feijões Pretos:
    • No primeiro caso (mesma cor), se os feijões retirados são pretos, a quantidade de pretos diminui em 1.
    • No segundo caso (cores diferentes), a quantidade de pretos diminui em 1.
  • Quantidade de Feijões Brancos:
    • No primeiro caso, se os feijões retirados são brancos, a quantidade de brancos diminui em 2 e aumenta em 1 preto.
    • No segundo caso, a quantidade de brancos permanece a mesma.

Passo 4

Agora, vamos procurar por um invariante, que é uma propriedade que não muda durante o processo. Observando as mudanças:
  • A paridade (se a quantidade é par ou ímpar) da quantidade de feijões brancos não muda quando removemos um preto. Ela só muda quando removemos dois brancos.
  • Portanto, se começarmos com um n��mero par de feijões brancos, sempre teremos uma quantidade par, e o mesmo vale para o número ímpar.
Isso significa que a paridade da quantidade de feijões brancos é uma característica que permanece constante durante todo o processo.

Passo 5

Com base nisso, podemos determinar que:
  • Se iniciarmos com um número ímpar de feijões brancos, o processo terminará com apenas 1 feijão branco.
  • Se iniciarmos com um número par de feijões brancos, o processo terminará com 0 feijões brancos.
Além disso, como a quantidade total de feijões diminui em 1 a cada operação, o processo terminará quando não for mais possível realizar retiradas, ou seja, quando restar apenas um feijão ou nenhum.

Resposta

As relações possíveis entre o conteúdo inicial e final da lata dependem da paridade da quantidade inicial de feijões brancos:
  • Se houver um número ímpar de feijões brancos no início, a lata terminará com um único feijão branco.
  • Se houver um número par de feijões brancos no início, a lata ficará vazia ao final do processo.

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