Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
(e)
(e)
Passo 1
Vamos calcular a integral indefinida
. Para isso, vamos usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais fazendo uma mudança de variável. Precisamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, escolhemos o que vamos substituir. Observando a integral, vemos que
está dentro da função cosseno hiperbólico. Vamos definir:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Passo 4
Vamos reescrever a integral original usando
e
. Substituindo
por
, a integral fica:
Passo 5
Agora, resolvemos a integral em termos de
. A integral de
é:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Por fim, substituímos
de volta para
, lembrando que
:
Resposta
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Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(a)
(a)
Se uma lata fechada com um volume fio deve ter a forma de um cilindro circular reto, ache a razão entre a altura e o raio da base se a quantidade de material usado na fabricação for mínima.
Calcule as integrais das seguintes funções trigonométricas:
©
©
Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição trigonométrica:
(a)
(a)