Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
(e)

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida . Para isso, vamos usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais fazendo uma mudança de variável. Precisamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, escolhemos o que vamos substituir. Observando a integral, vemos que está dentro da função cosseno hiperbólico. Vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Multiplicando ambos os lados por , temos:

Passo 4

Vamos reescrever a integral original usando e . Substituindo por , a integral fica:

Passo 5

Agora, resolvemos a integral em termos de . A integral de é:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos de volta para , lembrando que :

Resposta

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Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(a)
Se uma lata fechada com um volume fio deve ter a forma de um cilindro circular reto, ache a razão entre a altura e o raio da base se a quantidade de material usado na fabricação for mínima.
Calcule as integrais das seguintes funções trigonométricas:
©
Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição trigonométrica:
(a)