A lei de Boyle afirma que se a temperatura permanecer constante, a pressão p e o volume v de um gás confinado estão relacionados por p = c/v, para alguma constante c.
Se, para certo gás, c = 200 e v está aumentando, determine a taxa instantânea de variação de p em relação a v para v = 10.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a Lei de Boyle, que diz que, se a temperatura de um gás não muda, a pressão § e o volume (v) estão ligados pela fórmula , onde é uma constante. A gente precisa descobrir como a pressão muda quando o volume aumenta, especificamente quando .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para achar a taxa de variação de em relação a , a gente precisa calcular a derivada de em relação a . Derivada é uma ferramenta matemática que mostra como uma função muda quando a variável que ela depende muda. No nosso caso, queremos saber como muda quando muda.

Passo 3

A equação que temos é e sabemos que . Então, podemos reescrever a equação como:
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a , ou seja, .

Passo 4

Para derivar , lembramos que . Aplicando isso à nossa função:

Passo 5

Agora que temos a expressão da derivada, podemos substituir para achar a taxa instantânea de variação:
Isso significa que quando o volume está aumentando em 10 unidades, a pressão está diminuindo a uma taxa de 2 unidades de pressão por unidade de volume.

Resposta

A taxa instantânea de variação de em relação a para é -2.

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Considerando a função f(x) = -x^3/3 + 3/2 x^2 - 2 x + 5/6.
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