A lei de Boyle afirma que se a temperatura permanecer constante, a pressão p e o volume v de um gás confinado estão relacionados por
, para alguma constante
.
Se, para certo gás,
e v está aumentando, determine a taxa instantânea de variação de
em relação a v para
.
Se, para certo gás,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a Lei de Boyle, que diz que, se a temperatura de um gás não muda, a pressão § e o volume (v) estão ligados pela fórmula
, onde
é uma constante. A gente precisa descobrir como a pressão muda quando o volume aumenta, especificamente quando
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para achar a taxa de variação de
em relação a
, a gente precisa calcular a derivada de
em relação a
. Derivada é uma ferramenta matemática que mostra como uma função muda quando a variável que ela depende muda. No nosso caso, queremos saber como
muda quando
muda.
Passo 3
A equação que temos é
e sabemos que
. Então, podemos reescrever a equação como:
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 4
Para derivar
, lembramos que
. Aplicando isso à nossa função:
Passo 5
Agora que temos a expressão da derivada, podemos substituir
para achar a taxa instantânea de variação:
Isso significa que quando o volume está aumentando em 10 unidades, a pressão está diminuindo a uma taxa de 2 unidades de pressão por unidade de volume.
Resposta
A taxa instantânea de variação de
em relação a
para
é -2.
Exercícios relacionados
Se
é definida por
, determinar implicitamente a derivada de y em relação a
, ou seja,
.
(a) Se
é o segmento de reta ligando o ponto
ao ponto
, mostre que
. Utilize o item (a) para encontrar a área do triângulo com vértices
.
Considerando a função
.
Determine seus pontos críticos;
Determine seus pontos críticos;
Considerando a função
.
Identifique os intervalos onde f é crescente e onde é decrescente;
Identifique os intervalos onde f é crescente e onde é decrescente;