(a) Se
é o segmento de reta ligando o ponto
ao ponto
, mostre que
. Utilize o item (a) para encontrar a área do triângulo com vértices
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um segmento de reta
que conecta dois pontos
e
. Precisamos mostrar que a integral de linha
Após isso, vamos usar esse resultado para encontrar a área de um triângulo com vértices em
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo como integrais de linha e como eles se relacionam com áreas de figuras geométricas.
Passo 2
Vamos começar calculando a integral de linha
para o segmento de reta que liga
a
.
Para integrar ao longo de
, precisamos parametrizar o segmento. Uma forma simples de fazer isso é usando um parâmetro
que varia de 0 a 1:
Aqui, quando
, estamos no ponto
e quando
, estamos no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos derivar
e
em relação a
:
Essas derivadas nos dão as componentes de
e
:
Passo 4
Substituindo
,
,
e
na integral, temos:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 5
Expandindo os termos dentro da integral:
Observamos que os termos com
se cancelam:
Então, sobra:
Passo 6
Agora, como o conteúdo dentro da integral é constante em relação a
, podemos simplificar a integral:
Simplificando os termos:
Passo 7
Portanto, mostramos que:
Esse foi o primeiro objetivo da questão.
Passo 8
Agora, vamos usar esse resultado para encontrar a área do triângulo com vértices em
,
e
.
Sabemos que a área de um triângulo pode ser calculada usando determinantes ou integrais de linha semelhantes. A expressão que encontramos é semelhante à fórmula para a área de um triângulo dado por:
Vamos adaptar isso para nossos pontos.
Passo 9
Identificando os pontos do triângulo:
Substituindo na fórmula da área:
Passo 10
Simplificando a expressão:
Essa é a fórmula para a área do triângulo com os vértices dados.
Resposta
A área do triângulo com vértices em
,
e
é
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Calcule o valor dos seguintes limites:
(
(
Calcule o valor dos seguintes limites:
©
©
Se
é definida por
, determinar implicitamente a derivada de y em relação a
, ou seja,
.
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, para alguma constante
.
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.
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