(a) Se C é o segmento de reta ligando o ponto (x1, y1) ao ponto (x2, y2), mostre que integralC x dy-y dx=x1 y2-x2 y1. Utilize o item (a) para encontrar a área do triângulo com vértices (a, b),(c, d) e(e, f).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um segmento de reta integralC x , dy - y , dx = x1 y2 - x2 y1 que conecta dois pontos e . Precisamos mostrar que a integral de linha
Após isso, vamos usar esse resultado para encontrar a área de um triângulo com vértices em , e . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo como integrais de linha e como eles se relacionam com áreas de figuras geométricas.

Passo 2

Vamos começar calculando a integral de linha x(t) = x1 + (x2 - x1) t para o segmento de reta que liga y(t) = y1 + (y2 - y1) t a .
Para integrar ao longo de , precisamos parametrizar o segmento. Uma forma simples de fazer isso é usando um parâmetro que varia de 0 a 1:
Aqui, quando , estamos no ponto e quando , estamos no ponto .

Passo 3

Agora, vamos derivar dxdt = x2 - x1 e dydt = y2 - y1 em relação a dx = (x2 - x1) , dt :
dy = (y2 - y1) , dt
Essas derivadas nos dão as componentes de e :

Passo 4

Substituindo integralC x , dy - y , dx = integral0^1 [ (x1 + (x2 - x1) t) cdot (y2 - y1) - (y1 + (y2 - y1) t) cdot (x2 - x1) ] dt , , e na integral, temos:
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 5

Expandindo os termos dentro da integral:
integral0^1 [ x1(y2 - y1) + (x2 - x1) t (y2 - y1) - y1(x2 - x1) - (y2 - y1) t (x2 - x1)) ] dt
Observamos que os termos com (x2 - x1) t (y2 - y1) - (y2 - y1) t (x2 - x1) ) = 0 se cancelam:
integral0^1 [ x1(y2 - y1) - y1(x2 - x1) ] dt
Então, sobra:

Passo 6

Agora, como o conteúdo dentro da integral é constante em relação a [ x1(y2 - y1) - y1(x2 - x1) ] integral0^1 dt = [ x1y2 - x1y1 - y1x2 + y1x1 ] cdot 1 , podemos simplificar a integral:
x1y2 - y1x2
Simplificando os termos:

Passo 7

Portanto, mostramos que:
integralC x , dy - y , dx = x1 y2 - x2 y1
Esse foi o primeiro objetivo da questão.

Passo 8

Agora, vamos usar esse resultado para encontrar a área do triângulo com vértices em Área = 12 |x1y2 + x2y3 + x3y1 - x2y1 - x3y2 - x1y3| , e .
Sabemos que a área de um triângulo pode ser calculada usando determinantes ou integrais de linha semelhantes. A expressão que encontramos é semelhante à fórmula para a área de um triângulo dado por:
Vamos adaptar isso para nossos pontos.

Passo 9

Identificando os pontos do triângulo:
(x1, y1) = (a, b)
(x2, y2) = (c, d)
(x3, y3) = (e, f)
Substituindo na fórmula da área:
Área = 12 |a d + c f + e b - c b - e d - a f| Á

Passo 10

Simplificando a expressão:
Área = 12 |a d - a f + c f - c b + e b - e d| Á
Área = 12 |a (d - f) + c (f - b) + e (b - d)| Á
Essa é a fórmula para a área do triângulo com os vértices dados.

Resposta

A área do triângulo com vértices em Área = 12 |a d + c f + e b - c b - e d - a f| , e é
Á

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