Se
é definida por
, determinar implicitamente a derivada de y em relação a
, ou seja,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a derivada de
em relação a
(
), dada a equação implícita
. Estamos lidando com derivação implícita, que é usada quando
está misturado com
na equação e não está isolado. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação, especialmente a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Isso significa que vamos calcular a derivada de cada termo em
.
Passo 3
Vamos derivar cada termo separadamente:
-
Derivada de
: Aqui usamos a regra do poder, onde a derivada deé . -
Derivada de
: Usamos a regra do produto, que diz que a derivada deé . Aqui, e . -
Derivada de
: Aplicamos a regra da cadeia aqui, já queé uma função de . -
Derivada de
:
Passo 4
Agora, vamos substituir todas as derivadas na equação original:
Passo 5
Nosso objetivo é isolar
(ou
). Vamos agrupar os termos que contêm
:
Passo 6
Fatoramos
do lado esquerdo:
Passo 7
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A derivada implícita de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
(a) Se
é o segmento de reta ligando o ponto
ao ponto
, mostre que
. Utilize o item (a) para encontrar a área do triângulo com vértices
.
Calcule o valor dos seguintes limites:
(
(
A lei de Boyle afirma que se a temperatura permanecer constante, a pressão p e o volume v de um gás confinado estão relacionados por
, para alguma constante
.
Se, para certo gás, e v está aumentando, determine a taxa instantânea de variação de
em relação a v para
.
Se, para certo gás,
Considerando a função
.
Determine seus pontos críticos;
Determine seus pontos críticos;