(Lei de corte). Mostre que se G é grupo e g1, g2, g3 in G satisfazem g1 g2=g1 g3, então g2=g3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que, se tivermos um grupo e três elementos nesse grupo, e se , então necessariamente . Isso está relacionado à Lei de Cancelamento em grupos, que é um conceito importante na Teoria de Grupos. Para resolver isso, a gente vai precisar usar as propriedades fundamentais de um grupo, como a existência de inversos e a associatividade da operação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um grupo é um conjunto com uma operação binária (como multiplicação) que satisfaz quatro propriedades: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos para cada elemento.
Na Lei de Cancelamento, a ideia é que, se você tem uma equação do tipo , e se tem um inverso, você pode “cancelar” o para concluir que . Isso só funciona porque cada elemento em um grupo tem um inverso.

Passo 3

Agora, aplicando isso ao nosso problema: temos . Queremos isolar e para mostrar que eles são iguais.
Para fazer isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de , que vamos chamar de . A propriedade dos inversos nos diz que , onde é o elemento neutro do grupo.

Passo 4

Então, multiplicando ambos os lados da equação original pela inversa:
g1^-1 cdot (g1 g2) = g1^-1 cdot (g1 g3)
Usando a associatividade da operação do grupo, podemos reescrever isso como:
(g1^-1 g1) g2 = (g1^-1 g1) g3
Sabemos que e cdot g2 = e cdot g3 , então:
g2 = g3
E como o elemento neutro não muda nenhum elemento quando multiplicado, temos:

Resposta

g2 = g3

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