(Lei de corte). Mostre que se é grupo e satisfazem , então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que, se tivermos um grupo e três elementos nesse grupo, e se , então necessariamente . Isso está relacionado à Lei de Cancelamento em grupos, que é um conceito importante na Teoria de Grupos. Para resolver isso, a gente vai precisar usar as propriedades fundamentais de um grupo, como a existência de inversos e a associatividade da operação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um grupo é um conjunto com uma operação binária (como multiplicação) que satisfaz quatro propriedades: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos para cada elemento.
Na Lei de Cancelamento, a ideia é que, se você tem uma equação do tipo , e se tem um inverso, você pode “cancelar” o para concluir que . Isso só funciona porque cada elemento em um grupo tem um inverso.

Passo 3

Agora, aplicando isso ao nosso problema: temos . Queremos isolar e para mostrar que eles são iguais.
Para fazer isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de , que vamos chamar de . A propriedade dos inversos nos diz que , onde é o elemento neutro do grupo.

Passo 4

Então, multiplicando ambos os lados da equação original pela inversa:
Usando a associatividade da operação do grupo, podemos reescrever isso como:
Sabemos que , então:
E como o elemento neutro não muda nenhum elemento quando multiplicado, temos:

Resposta

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Determine a magnitude e os ângulos diretores do binário resultante. [Resposta: N.m;
Determine a magnitude do momento produzido pela força em relação ao eixo . [Resposta:
Determine um sistema equivalente de uma força e um momento resultante no ponto O. Resposta: N.m]
Mostre que é subgrupo de dotado com a multiplicação usual.