(Lei de corte). Mostre que se é grupo e satisfazem , então .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que, se tivermos um grupo e três elementos nesse grupo, e se , então necessariamente . Isso está relacionado à Lei de Cancelamento em grupos, que é um conceito importante na Teoria de Grupos. Para resolver isso, a gente vai precisar usar as propriedades fundamentais de um grupo, como a existência de inversos e a associatividade da operação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um grupo é um conjunto com uma operação binária (como multiplicação) que satisfaz quatro propriedades: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos para cada elemento.
Na Lei de Cancelamento, a ideia é que, se você tem uma equação do tipo , e se tem um inverso, você pode “cancelar” o para concluir que . Isso só funciona porque cada elemento em um grupo tem um inverso.
Passo 3
Agora, aplicando isso ao nosso problema: temos . Queremos isolar e para mostrar que eles são iguais.
Para fazer isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de , que vamos chamar de . A propriedade dos inversos nos diz que , onde é o elemento neutro do grupo.
Passo 4
Então, multiplicando ambos os lados da equação original pela inversa:
Usando a associatividade da operação do grupo, podemos reescrever isso como:
Sabemos que , então:
E como o elemento neutro não muda nenhum elemento quando multiplicado, temos: