Mostre que Q+^*:=q in Q ; q>0 é subgrupo de Q^* dotado com a multiplicação usual.

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjunto dos racionais positivos, Q+^* = q in Q ; q > 0, é um subgrupo de Q^* usando a multiplicação comum. Isso está ligado à teoria de grupos, onde um subgrupo precisa satisfazer certas propriedades dentro do grupo maior. Para resolver isso, vamos lembrar das condições para um subconjunto ser subgrupo e verificar cada uma delas para Q+^*.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar quais são as condições para que um subconjunto seja um subgrupo de um grupo. Em termos simples, para que Q+^* seja um subgrupo de Q^*, ele deve satisfazer:
  1. Fechamento: Se você pegar quaisquer dois elementos de Q+^* e multiplicá-los, o resultado também deve estar em Q+^*.
  2. Elemento neutro: O elemento neutro do grupo maior ( Q^*), que é 1, também deve estar em Q+^*.
  3. Inversos: Para cada elemento em Q+^*, seu inverso multiplicativo também deve estar em Q+^*.
Vamos verificar cada uma dessas condições.

Passo 3

1. Fechamento:
Tomemos dois elementos quaisquer a, b in Q+^*. Como ambos são racionais positivos, a > 0 e b > 0. A multiplicação de dois números positivos é positiva, então a times b > 0. Portanto, a times b in Q+^*.
2. Elemento neutro:
O elemento neutro em Q^* é 1, já que 1 times a = a times 1 = a para qualquer a in Q^*. Como 1 é um número racional positivo, 1 in Q+^*.
3. Inversos:
Para qualquer a in Q+^*, seu inverso multiplicativo é a^-1 = 1a. Como a > 0, então 1a > 0, o que significa que a^-1 in Q+^*.

Passo 4

Como verificamos que Q+^* satisfaz todas as três condições necessárias para ser um subgrupo de Q^* com a operação de multiplicação, podemos concluir que realmente Q+^* é um subgrupo de Q^*.

Resposta

Portanto, Q+^* é um subgrupo de Q^* com a multiplicação usual.

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