Mostre que é subgrupo de dotado com a multiplicação usual.

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjunto dos racionais positivos, , é um subgrupo de usando a multiplicação comum. Isso está ligado à teoria de grupos, onde um subgrupo precisa satisfazer certas propriedades dentro do grupo maior. Para resolver isso, vamos lembrar das condições para um subconjunto ser subgrupo e verificar cada uma delas para .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar quais são as condições para que um subconjunto seja um subgrupo de um grupo. Em termos simples, para que seja um subgrupo de , ele deve satisfazer:
  1. Fechamento: Se você pegar quaisquer dois elementos de e multiplicá-los, o resultado também deve estar em .
  2. Elemento neutro: O elemento neutro do grupo maior ( ), que é 1, também deve estar em .
  3. Inversos: Para cada elemento em , seu inverso multiplicativo também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições.

Passo 3

1. Fechamento:
Tomemos dois elementos quaisquer . Como ambos são racionais positivos, e . A multiplicação de dois números positivos é positiva, então . Portanto, .
2. Elemento neutro:
O elemento neutro em é 1, já que para qualquer . Como 1 é um número racional positivo, .
3. Inversos:
Para qualquer , seu inverso multiplicativo é . Como , então , o que significa que .

Passo 4

Como verificamos que satisfaz todas as três condições necessárias para ser um subgrupo de com a operação de multiplicação, podemos concluir que realmente é um subgrupo de .

Resposta

Portanto, é um subgrupo de com a multiplicação usual.

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