Mostre que
é subgrupo de
dotado com a multiplicação usual.
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjunto dos racionais positivos,
, é um subgrupo de
usando a multiplicação comum. Isso está ligado à teoria de grupos, onde um subgrupo precisa satisfazer certas propriedades dentro do grupo maior. Para resolver isso, vamos lembrar das condições para um subconjunto ser subgrupo e verificar cada uma delas para
.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar quais são as condições para que um subconjunto seja um subgrupo de um grupo. Em termos simples, para que
seja um subgrupo de
, ele deve satisfazer:
- Fechamento: Se você pegar quaisquer dois elementos de
e multiplicá-los, o resultado também deve estar em . - Elemento neutro: O elemento neutro do grupo maior (
), que é 1, também deve estar em . - Inversos: Para cada elemento em
, seu inverso multiplicativo também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições.
Passo 3
1. Fechamento:
Tomemos dois elementos quaisquer . Como ambos são racionais positivos,
e
. A multiplicação de dois números positivos é positiva, então
. Portanto,
.
Tomemos dois elementos quaisquer
2. Elemento neutro:
O elemento neutro em é 1, já que
para qualquer
. Como 1 é um número racional positivo,
.
O elemento neutro em
3. Inversos:
Para qualquer , seu inverso multiplicativo é
. Como
, então
, o que significa que
.
Para qualquer
Passo 4
Como verificamos que
satisfaz todas as três condições necessárias para ser um subgrupo de
com a operação de multiplicação, podemos concluir que realmente
é um subgrupo de
.
Resposta
Portanto,
é um subgrupo de
com a multiplicação usual.