A Lei da Gravitação de Newton afirma que a força gravitacional entre dois objetos com massas M e m, localizados em O=(0,0,0) e r=(x, y, z) respectivamente, é dada pela função vetorial
F(x, y, z)=-M m G x(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 i+-M m G y(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 j+-M m G z(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 k
onde G é a constante gravitacional.
(a) Verifique se integralC F cdot d r é independente de caminho para toda curva C contida no domínio de F.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a integral da força gravitacional F ao longo de qualquer curva C é independente do caminho escolhido. Isso está ligado ao conceito de campo conservativo na matéria de cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como verificar se um campo é conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial F é conservativo se existe uma função potencial U tal que F = -nabla U. Quando isso acontece, a integral de F cdot dr entre dois pontos não depende do caminho seguido, mas apenas dos pontos inicial e final.

Passo 3

Para verificar se F é conservativo, podemos calcular o rotacional de F, que é dado por nabla times F. Se o rotacional for zero em todo o domínio, então o campo é conservativo e a integral será independente do caminho.

Passo 4

Vamos calcular o rotacional de F. A força gravitacional dada é:
F(x, y, z) = -M m G x(x^2+y^2+z^2)^3/2 i + -M m G y(x^2+y^2+z^2)^3/2 j + -M m G z(x^2+y^2+z^2)^3/2 k
Usando a fórmula do rotacional:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k

Passo 5

Vamos calcular cada componente:
  1. Então, partial Fzpartial y = -M m G z cdot (-3) cdot 2y(x^2+y^2+z^2)^5/2 = 3 M m G y z(x^2+y^2+z^2)^5/2
    E o mesmo vale para as outras componentes.

Passo 6

Como todas as componentes do rotacional de F são iguais a zero, temos que nabla times F = 0. Isso significa que o campo F é conservativo.

Resposta

Sim, a integral integralC F cdot d r é independente do caminho para toda curva C contida no domínio de F.

Exercícios relacionados

Resolva os seguintes PVIs: y'' - 4y' + 4y = t^2 e^(2t), y(0) = 0, y'(0) = 0
(a) Para quais valores de a, lim x a f(x) não existe?
(b) Para quais valores de a, f não é contínua?
© Para quais valores de a, lim x a f(x) existe, mas f não é contínua em a ?
Usando a definição, calcule fx(0,0) e f_y(0,0), da função f: R^2 -> R dada por
f(x, y) = { (x*y) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0) }
Resolva os seguintes PVIs:
y^prime prime+y & =f(t), y(0)=0, y^prime(0)=1, onde f(t) & =ll 0, & 0 <= t= 2 pi