A Lei da Gravitação de Newton afirma que a força gravitacional entre dois objetos com massas
e
, localizados em
e
respectivamente, é dada pela função vetorial
onde
é a constante gravitacional.
(a) Verifique se
é independente de caminho para toda curva
contida no domínio de
.
(a) Verifique se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a integral da força gravitacional
ao longo de qualquer curva
é independente do caminho escolhido. Isso está ligado ao conceito de campo conservativo na matéria de cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como verificar se um campo é conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial
é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Quando isso acontece, a integral de
entre dois pontos não depende do caminho seguido, mas apenas dos pontos inicial e final.
Passo 3
Para verificar se
é conservativo, podemos calcular o rotacional de
, que é dado por
. Se o rotacional for zero em todo o domínio, então o campo é conservativo e a integral será independente do caminho.
Passo 4
Vamos calcular o rotacional de
. A força gravitacional dada é:
Usando a fórmula do rotacional:
Passo 5
Vamos calcular cada componente:
- Então,
E o mesmo vale para as outras componentes.
Passo 6
Como todas as componentes do rotacional de
são iguais a zero, temos que
. Isso significa que o campo
é conservativo.
Resposta
Sim, a integral
é independente do caminho para toda curva
contida no domínio de
.
Exercícios relacionados
Resolva os seguintes PVIs:
(a) Para quais valores de
não existe?
(b) Para quais valores de não é contínua?
© Para quais valores de existe, mas
não é contínua em
?
(b) Para quais valores de
© Para quais valores de
Usando a definição, calcule
e
, da função
dada por
Resolva os seguintes PVIs: