Usando a definição, calcule fx(0,0) e f_y(0,0), da função f: R^2 -> R dada por
f(x, y) = { (x*y) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por:
O objetivo é calcular as derivadas parciais de em relação a e no ponto , ou seja, e . Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial.

Passo 2

Vamos começar calculando . A definição da derivada parcial em relação a no ponto é:
Aqui, é um pequeno incremento em . Vamos calcular usando a definição da função.

Passo 3

Para calcular , substituímos na função :
Sabemos também que .

Passo 4

Agora, substituímos os valores encontrados na definição da derivada parcial:
Portanto, .

Passo 5

Vamos repetir o mesmo processo para encontrar . A definição da derivada parcial em relação a no ponto é:
Aqui, é um pequeno incremento em . Vamos calcular .

Passo 6

Para calcular , substituímos na função :
Sabemos novamente que .

Passo 7

Substituindo os valores na definição da derivada parcial:
Portanto, .

Resposta

As derivadas parciais no ponto são e .

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