Usando a definição, calcule fx(0,0) e f_y(0,0), da função f: R^2 -> R dada por
f(x, y) = { (x*y) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por:
O objetivo é calcular as derivadas parciais de em relação a e no ponto , ou seja, e . Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial.

Passo 2

Vamos começar calculando . A definição da derivada parcial em relação a no ponto é:
Aqui, é um pequeno incremento em . Vamos calcular usando a definição da função.

Passo 3

Para calcular , substituímos na função :
Sabemos também que .

Passo 4

Agora, substituímos os valores encontrados na definição da derivada parcial:
Portanto, .

Passo 5

Vamos repetir o mesmo processo para encontrar . A definição da derivada parcial em relação a no ponto é:
Aqui, é um pequeno incremento em . Vamos calcular .

Passo 6

Para calcular , substituímos na função :
Sabemos novamente que .

Passo 7

Substituindo os valores na definição da derivada parcial:
Portanto, .

Resposta

As derivadas parciais no ponto são e .

Exercícios relacionados

A Lei da Gravitação de Newton afirma que a força gravitacional entre dois objetos com massas M e m, localizados em O=(0,0,0) e r=(x, y, z) respectivamente, é dada pela função vetorial
F(x, y, z)=-M m G x(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 i+-M m G y(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 j+-M m G z(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 k
onde G é a constante gravitacional.
(a) Verifique se integralC F cdot d r é independente de caminho para toda curva C contida no domínio de F.
Resolva os seguintes PVIs: y'' - 4y' + 4y = t^2 e^(2t), y(0) = 0, y'(0) = 0
Resolva os seguintes PVIs:
y^prime prime+y & =f(t), y(0)=0, y^prime(0)=1, onde f(t) & =ll 0, & 0 <= t= 2 pi
Sejam r = x i + y j + z k e r = ||r||. Verifique as identidades.
(e) nabla x r = 0.