Usando a definição, calcule
e
, da função
dada por
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
definida por:
O objetivo é calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto
, ou seja,
e
. Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial.
Passo 2
Vamos começar calculando
. A definição da derivada parcial em relação a
no ponto
é:
Aqui,
é um pequeno incremento em
. Vamos calcular
usando a definição da função.
Passo 3
Para calcular
, substituímos
na função
:
Sabemos também que
.
Passo 4
Agora, substituímos os valores encontrados na definição da derivada parcial:
Portanto,
.
Passo 5
Vamos repetir o mesmo processo para encontrar
. A definição da derivada parcial em relação a
no ponto
é:
Aqui,
é um pequeno incremento em
. Vamos calcular
.
Passo 6
Para calcular
, substituímos
na função
:
Sabemos novamente que
.
Passo 7
Substituindo os valores na definição da derivada parcial:
Portanto,
.
Resposta
As derivadas parciais no ponto
são
e
.
Exercícios relacionados
A Lei da Gravitação de Newton afirma que a força gravitacional entre dois objetos com massas
e
, localizados em
e
respectivamente, é dada pela função vetorial
onde
é a constante gravitacional.
(a) Verifique se é independente de caminho para toda curva
contida no domínio de
.
(a) Verifique se
Resolva os seguintes PVIs:
Resolva os seguintes PVIs:
Sejam
r = x i + y j + z k e
r = ||r|| . Verifique as identidades.
(e)nabla x r = 0 .
(e)