A lei de resfriamento de Newton postula que a velocidade de resfriamento de um corpo é proporcional, em cada instante t, à diferença entre a temperatura do corpo T e a temperatura do meio circundante Tm, ou seja,
dT/dt = k(T - Tm)
onde k é uma constante negativa e T > Tm. Considerando que a temperatura de determinado corpo é de 30 graus no instante t = 0, passando a ser de 17,5 graus C para t = 1 hora e de 11,25 graus Celsius para t = 2 horas, determinar:
a) a temperatura do meio circundante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre a Lei de Resfriamento de Newton. A gente precisa encontrar a temperatura do meio circundante, que chamaremos de . Para isso, vamos usar a fórmula que relaciona a temperatura do corpo ao tempo. Vamos precisar entender um pouco de equações diferenciais e como resolver elas para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Resfriamento de Newton, que diz que a velocidade de resfriamento de um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do ambiente . A equação fica assim:
Aqui, é uma constante negativa porque a temperatura do corpo está diminuindo com o tempo.

Passo 3

Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, separamos as variáveis e :
Agora, integramos os dois lados:
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos resolver para . Exponenciando ambos os lados:
Podemos chamar de , então:

Passo 5

Usamos as condições iniciais para encontrar e . Sabemos que:
  • Para , :
    Então, .
  • Para , :
  • Para , :

Passo 6

Vamos chamar . Assim, temos:
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas e .

Passo 7

Resolvendo a primeira equação para :

Passo 8

Substituímos na segunda equação:
Simplificando essa equação, encontramos valores para . Após simplificar e resolver, descobrimos que .

Passo 9

Com , voltamos para a equação de :

Resposta

A temperatura do meio circundante é .

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