A lei de resfriamento de Newton postula que a velocidade de resfriamento de um corpo é proporcional, em cada instante
, à diferença entre a temperatura do corpo
e a temperatura do meio circundante
, ou seja,
onde
é uma constante negativa e
. Considerando que a temperatura de determinado corpo é de
no instante
, passando a ser de
para
hora e de
para
horas, determinar:
a) a temperatura do meio circundante.
a) a temperatura do meio circundante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre a Lei de Resfriamento de Newton. A gente precisa encontrar a temperatura do meio circundante, que chamaremos de
. Para isso, vamos usar a fórmula que relaciona a temperatura do corpo ao tempo. Vamos precisar entender um pouco de equações diferenciais e como resolver elas para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Resfriamento de Newton, que diz que a velocidade de resfriamento de um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo
e a temperatura do ambiente
. A equação fica assim:
Aqui,
é uma constante negativa porque a temperatura do corpo está diminuindo com o tempo.
Passo 3
Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, separamos as variáveis
e
:
Agora, integramos os dois lados:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos resolver para
. Exponenciando ambos os lados:
Podemos chamar
de
, então:
Passo 5
Usamos as condições iniciais para encontrar
e
. Sabemos que:
-
Para
, : Então,. -
Para
, : -
Para
, :
Passo 6
Vamos chamar
. Assim, temos:
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas
e
.
Passo 7
Resolvendo a primeira equação para
:
Passo 8
Substituímos
na segunda equação:
Simplificando essa equação, encontramos valores para
. Após simplificar e resolver, descobrimos que
.
Passo 9
Com
, voltamos para a equação de
:
Resposta
A temperatura do meio circundante é
.