A lei de resfriamento de Newton postula que a velocidade de resfriamento de um corpo é proporcional, em cada instante t, à diferença entre a temperatura do corpo T e a temperatura do meio circundante Tm, ou seja,
dT/dt = k(T - Tm)
onde k é uma constante negativa e T > Tm. Considerando que a temperatura de determinado corpo é de 30 graus no instante t = 0, passando a ser de 17,5 graus C para t = 1 hora e de 11,25 graus Celsius para t = 2 horas, determinar:
b) a temperatura do objeto para t = 3 horas.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a Lei de Resfriamento de Newton, que basicamente diz que a velocidade com que um corpo esfria depende da diferença de temperatura entre ele e o ambiente. A equação que representa isso é:
Aqui, é a temperatura do corpo no tempo , é a temperatura do ambiente, e é uma constante negativa que indica a taxa de resfriamento. Nosso objetivo é descobrir qual será a temperatura do objeto após 3 horas ( ), dado que:
  • (temperatura inicial)
  • (temperatura após 1 hora)
  • (temperatura após 2 horas)
Para resolver isso, vamos precisar resolver a equação diferencial e encontrar os valores de e usando os dados fornecidos.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos separá-la:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados:
A integração nos dá:
Onde é a constante de integração. Podemos reescrever isso de forma exponencial:
Onde é uma nova constante. Assim, a solução geral da equação é:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os valores de e usando os dados que temos. Vamos usar as condições iniciais para isso.
Primeiro, quando :
Agora, vamos usar o fato de que :
E também, para :
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( e ). Vamos resolver esse sistema.
Primeiro, vamos dividir as duas equações para eliminar :
Agora, podemos denotar , então:
E também sabemos que:
Substituindo na segunda equação:
Expandindo os termos:
Simplificando:
Agora que temos , podemos encontrar :

Passo 5

Agora, já temos todos os parâmetros. Vamos reescrever a equação da temperatura:
Queremos encontrar :
Calculando o expoente:
Então:

Resposta

A temperatura do objeto para horas é de aproximadamente Celsius.

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