A lei de resfriamento de Newton postula que a velocidade de resfriamento de um corpo é proporcional, em cada instante
, à diferença entre a temperatura do corpo
e a temperatura do meio circundante
, ou seja,
onde
é uma constante negativa e
. Considerando que a temperatura de determinado corpo é de
no instante
, passando a ser de
para
hora e de
para
horas, determinar:
b) a temperatura do objeto para
horas.
b) a temperatura do objeto para
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a Lei de Resfriamento de Newton, que basicamente diz que a velocidade com que um corpo esfria depende da diferença de temperatura entre ele e o ambiente. A equação que representa isso é:
Aqui,
é a temperatura do corpo no tempo
,
é a temperatura do ambiente, e
é uma constante negativa que indica a taxa de resfriamento. Nosso objetivo é descobrir qual será a temperatura do objeto após 3 horas (
), dado que:
-
(temperatura inicial) -
(temperatura após 1 hora) -
(temperatura após 2 horas)
Para resolver isso, vamos precisar resolver a equação diferencial e encontrar os valores de
e
usando os dados fornecidos.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos separá-la:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados:
A integração nos dá:
Onde
é a constante de integração. Podemos reescrever isso de forma exponencial:
Onde
é uma nova constante. Assim, a solução geral da equação é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os valores de
e
usando os dados que temos. Vamos usar as condições iniciais para isso.
Primeiro, quando
:
Agora, vamos usar o fato de que
:
E também, para
:
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas (
e
). Vamos resolver esse sistema.
Primeiro, vamos dividir as duas equações para eliminar
:
Agora, podemos denotar
, então:
E também sabemos que:
Substituindo
na segunda equação:
Expandindo os termos:
Simplificando:
Agora que temos
, podemos encontrar
:
Passo 5
Agora, já temos todos os parâmetros. Vamos reescrever a equação da temperatura:
Queremos encontrar
:
Calculando o expoente:
Então:
Resposta
A temperatura do objeto para
horas é de aproximadamente
Celsius.