Resolver por separação de variáveis as equações a seguir. dP/dt = k P (100 - P) constante.

Passo 1

O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial usando o método de separação de variáveis. Vamos trabalhar com cálculo diferencial, especificamente com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, precisamos separar as variáveis e e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis e :
Podemos rearranjar isso para:

Passo 3

Agora, precisamos integrar ambos os lados da equação. A parte da esquerda envolve uma fração que podemos decompor em frações parciais:
Resolvendo para e :
Para simplificar, escolhemos valores de :
  • Se :
  • Se :
Então:

Passo 4

Agora, integramos ambos os lados:
Substituindo a decomposição:
Integrando:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Podemos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Multiplicando ambos os lados por 100:
onde é uma nova constante.

Passo 6

Para resolver para , aplicamos a exponenciação em ambos os lados:
onde é uma constante positiva.

Passo 7

Resolvendo para :
Podemos escrever , então a solução geral é:
onde é uma constante que pode ser determinada por condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante determinada pelas condições iniciais do problema.

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