Resolver por separação de variáveis as equações a seguir. constante.
Passo 1
O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial usando o método de separação de variáveis. Vamos trabalhar com cálculo diferencial, especificamente com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, precisamos separar as variáveis e e integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis e :
Podemos rearranjar isso para:
Passo 3
Agora, precisamos integrar ambos os lados da equação. A parte da esquerda envolve uma fração que podemos decompor em frações parciais:
Resolvendo para e :
Para simplificar, escolhemos valores de :
Se :
Se :
Então:
Passo 4
Agora, integramos ambos os lados:
Substituindo a decomposição:
Integrando:
onde é a constante de integração.
Passo 5
Podemos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Multiplicando ambos os lados por 100:
onde é uma nova constante.
Passo 6
Para resolver para , aplicamos a exponenciação em ambos os lados:
onde é uma constante positiva.
Passo 7
Resolvendo para :
Podemos escrever , então a solução geral é:
onde é uma constante que pode ser determinada por condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante determinada pelas condições iniciais do problema.