Leia com atenção as afirmações:
(I) y1(x)=e^4 x e y2(x)=x e^4 x formam um conjunto fundamental de soluções para y^prime prime-4 y^prime+ 4 y=0
(II) y(x)=e^2 x-e^3 x é solução do PVI y^prime prime-5 y^prime+6 y=0, y(0)=0 e y^prime(0)=1;
(III) A representação em séries de potências da função f(x)=ln (1+2 x) é sumn=1^infty(-1)^n-1 2^n x^nn e seu intervalo de convergência é (-1 / 2,1 / 2].
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
[ ] VVV [ ] FFF [ ] FVF [ ] VFF [ ] VVF [ ] FVV [ ]FFV [ ] |FFV

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Temos três afirmações sobre equações diferenciais e séries de potências. Nosso objetivo é verificar se cada uma dessas afirmações é verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso, vamos precisar entender conceitos de soluções de equações diferenciais, condições iniciais e séries de potências. Vamos resolver cada afirmação passo a passo.

Passo 2

Afirmação I: y1 = e^4x y1' = 4e^4x y1'' = 16e^4x e 16e^4x - 4 cdot 4e^4x + 4e^4x = 16e^4x - 16e^4x + 4e^4x = 4e^4x neq 0 formam um conjunto fundamental de soluções para r^2 - 4r + 4 = 0 (r - 2)^2 = 0 r = 2 (raiz dupla) .
Primeiro, vamos verificar se e são soluções da equação diferencial dada.
  1. Encontrar as derivadas de :
    Substituindo na equação:
    Parece que houve um erro aqui; na verdade, deve satisfazer a equação.
    Vamos considerar a equação característica:
    As soluções gerais são . Portanto, e não são soluções para essa equação, já que a base é .
Conclusão da Afirmação I: Falsa (F).

Passo 3

Afirmação II: y = e^2x - e^3x y' = 2e^2x - 3e^3x y'' = 4e^2x - 9e^3x é solução do PVI (4e^2x - 9e^3x) - 5(2e^2x - 3e^3x) + 6(e^2x - e^3x) = 4e^2x - 9e^3x -10e^2x +15e^3x +6e^2x -6e^3x = (4 -10 +6)e^2x + (-9 +15 -6)e^3x = 0e^2x + 0e^3x = 0 com condições iniciais y(0) = e^0 - e^0 = 1 - 1 = 0 (correto) y'(0) = 2e^0 - 3e^0 = 2 - 3 = -1 neq 1 (incorreto) e .
Vamos verificar se satisfaz a equação e as condições iniciais.
  1. Verificar a equação diferencial:
    Substituindo na equação:
    Portanto, satisfaz a equação diferencial.
  2. Verificar as condições iniciais:
    A condição não é satisfeita.
Conclusão da Afirmação II: Falsa (F).

Passo 4

Afirmação III: A representação em séries de potências da função ln(1 + u) = sumn=1^infty (-1)^n-1 u^nn para |u| < 1 é ln(1 + 2x) = sumn=1^infty (-1)^n-1 (2x)^nn = sumn=1^infty (-1)^n-1 2^n x^nn e seu intervalo de convergência é |2x| < 1 implies |x| < 12 implies x in (-12, 12) .
Vamos verificar a série de potência para , onde .
  1. Série de Maclaurin para :
    Substituindo :
    Portanto, a série está correta.
  2. Intervalo de convergência:
    A série converge para . Como , temos:
    No ponto , . A série converge para porque e a série alternada converge.
Conclusão da Afirmação III: Verdadeira (V).

Resposta

A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é: FFF

Exercícios relacionados