Leia com atenção as afirmações:
(I)
e
formam um conjunto fundamental de soluções para
(II)
é solução do PVI
e
;
(III) A representação em séries de potências da função
é
e seu intervalo de convergência é
.
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
[ ] VVV [ ] FFF [ ] FVF [ ] VFF [ ] VVF [ ] FVV [ ]FFV [ ] |FFV
(I)
(II)
(III) A representação em séries de potências da função
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
[ ] VVV [ ] FFF [ ] FVF [ ] VFF [ ] VVF [ ] FVV [ ]FFV [ ] |FFV
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Temos três afirmações sobre equações diferenciais e séries de potências. Nosso objetivo é verificar se cada uma dessas afirmações é verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso, vamos precisar entender conceitos de soluções de equações diferenciais, condições iniciais e séries de potências. Vamos resolver cada afirmação passo a passo.
Passo 2
Afirmação I:
e
formam um conjunto fundamental de soluções para
.
Primeiro, vamos verificar se
e
são soluções da equação diferencial dada.
-
Encontrar as derivadas de
: Substituindo na equação:Parece que houve um erro aqui; na verdade,deve satisfazer a equação. Vamos considerar a equação característica:As soluções gerais são. Portanto, e não são soluções para essa equação, já que a base é .
Conclusão da Afirmação I: Falsa (F).
Passo 3
Afirmação II:
é solução do PVI
com condições iniciais
e
.
Vamos verificar se
satisfaz a equação e as condições iniciais.
-
Verificar a equação diferencial:Substituindo na equação:Portanto,
satisfaz a equação diferencial. -
Verificar as condições iniciais:A condição
não é satisfeita.
Conclusão da Afirmação II: Falsa (F).
Passo 4
Afirmação III: A representação em séries de potências da função
é
e seu intervalo de convergência é
.
Vamos verificar a série de potência para
, onde
.
-
Série de Maclaurin para
: Substituindo: Portanto, a série está correta. -
Intervalo de convergência:
A sérieconverge para . Como , temos: No ponto, . A série converge para porque e a série alternada converge.
Conclusão da Afirmação III: Verdadeira (V).
Resposta
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é: FFF
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Determine o domínio maximal
;
Para
e
como acima, determine a expressão e domínio de
©
©
Encontre a transformada de Laplace da função dada.
Determine o domínio maximal das funções abaixo:
;