Leia com atenção as afirmações:
(I) e formam um conjunto fundamental de soluções para
(II) é solução do PVI e ;
(III) A representação em séries de potências da função é e seu intervalo de convergência é .
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
[ ] VVV [ ] FFF [ ] FVF [ ] VFF [ ] VVF [ ] FVV [ ]FFV [ ] |FFV

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Temos três afirmações sobre equações diferenciais e séries de potências. Nosso objetivo é verificar se cada uma dessas afirmações é verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso, vamos precisar entender conceitos de soluções de equações diferenciais, condições iniciais e séries de potências. Vamos resolver cada afirmação passo a passo.

Passo 2

Afirmação I: e formam um conjunto fundamental de soluções para .
Primeiro, vamos verificar se e são soluções da equação diferencial dada.
  1. Encontrar as derivadas de :
    Substituindo na equação:
    Parece que houve um erro aqui; na verdade, deve satisfazer a equação.
    Vamos considerar a equação característica:
    As soluções gerais são . Portanto, e não são soluções para essa equação, já que a base é .
Conclusão da Afirmação I: Falsa (F).

Passo 3

Afirmação II: é solução do PVI com condições iniciais e .
Vamos verificar se satisfaz a equação e as condições iniciais.
  1. Verificar a equação diferencial:
    Substituindo na equação:
    Portanto, satisfaz a equação diferencial.
  2. Verificar as condições iniciais:
    A condição não é satisfeita.
Conclusão da Afirmação II: Falsa (F).

Passo 4

Afirmação III: A representação em séries de potências da função é e seu intervalo de convergência é .
Vamos verificar a série de potência para , onde .
  1. Série de Maclaurin para :
    Substituindo :
    Portanto, a série está correta.
  2. Intervalo de convergência:
    A série converge para . Como , temos:
    No ponto , . A série converge para porque e a série alternada converge.
Conclusão da Afirmação III: Verdadeira (V).

Resposta

A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é: FFF

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