Encontre a transformada de Laplace da função dada.
f(t) = { 0, 0 <= t < 2; (t-2)², t >= 2 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a transformada de Laplace da função que é definida de forma diferente para e . O conteúdo que vamos usar aqui é a Transformada de Laplace, especialmente lidando com funções definidas por partes usando a função de Heaviside. Precisamos entender como expressar usando a função de Heaviside e aplicar as propriedades da transformada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função usando a função de Heaviside . A função de Heaviside é uma função que é zero para e 1 para . Então, podemos escrever:
Isso porque para , , e para , , fazendo com que .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformação de Laplace nessa expressão. A Transformada de Laplace de é dada por:
Substituindo :

Passo 4

Como a função é zero para , podemos alterar os limites da integral de 2 a :

Passo 5

Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a integral. Seja , então e quando , . A integral fica:

Passo 6

Agora, sabemos que a transformada de Laplace de é . Para :

Passo 7

Substituindo de volta na expressão anterior:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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