Leia com atenção o problema exposto a seguir: Ao se dividir R$ 200,00 entre cinco pessoas de modo que os valores recebidos individualmente formem uma progressão aritmética, notou-se que um sétimo da soma das três partes maiores correspondia à soma das duas menores. Nessas condições, qual o valor da maior das partes assim divididas? Marque a única alternativa correta:
a) R$ 66,33.
b) R$ 76,66.
c) R$ 96,33.
d) R$ 56,33.
a) R$ 66,33.
b) R$ 76,66.
c) R$ 96,33.
d) R$ 56,33.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos R$200,00 que vão ser divididos entre cinco pessoas de uma forma especial: os valores que cada pessoa vai receber formam uma progressão aritmética. Além disso, foi observado que um sétimo da soma das três maiores partes é igual à soma das duas menores. Nosso objetivo é descobrir qual é o maior valor que uma das pessoas vai receber. Para resolver isso, vamos usar conceitos de progressão aritmética e equações básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma progressão aritmética (PA). Em uma PA, cada termo depois do primeiro é obtido somando-se um número fixo, chamado de razão (d), ao termo anterior. Como temos cinco pessoas recebendo valores que formam uma PA, podemos representar os valores como:
Aqui,
é o valor central da PA, e
é a diferença entre os termos.
Passo 3
Sabemos que a soma de todos os valores é R$200,00. Então, vamos somar os cinco termos:
Dessa forma, podemos encontrar o valor de
:
Então, o valor central
é R$40,00.
Passo 4
Agora, vamos identificar as três maiores partes e as duas menores partes:
- Três maiores partes:
, , - Duas menores partes:
,
Segundo o problema, um sétimo da soma das três maiores partes é igual à soma das duas menores partes. Vamos escrever isso em forma de equação:
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver a equação para encontrar o valor de
:
Multiplicando ambos os lados por 7 para eliminar a fração:
Agora, vamos isolar
:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos encontrar os valores das cinco partes:
Resposta
A maior das partes é R
76,66.**