Leia com atenção o problema exposto a seguir: Ao se dividir R$ 200,00 entre cinco pessoas de modo que os valores recebidos individualmente formem uma progressão aritmética, notou-se que um sétimo da soma das três partes maiores correspondia à soma das duas menores. Nessas condições, qual o valor da maior das partes assim divididas? Marque a única alternativa correta:
a) R$ 66,33.
b) R$ 76,66.
c) R$ 96,33.
d) R$ 56,33.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos R$200,00 que vão ser divididos entre cinco pessoas de uma forma especial: os valores que cada pessoa vai receber formam uma progressão aritmética. Além disso, foi observado que um sétimo da soma das três maiores partes é igual à soma das duas menores. Nosso objetivo é descobrir qual é o maior valor que uma das pessoas vai receber. Para resolver isso, vamos usar conceitos de progressão aritmética e equações básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma progressão aritmética (PA). Em uma PA, cada termo depois do primeiro é obtido somando-se um número fixo, chamado de razão (d), ao termo anterior. Como temos cinco pessoas recebendo valores que formam uma PA, podemos representar os valores como:
a - 2d, a - d, a, a + d, a + 2d
Aqui, a é o valor central da PA, e d é a diferença entre os termos.

Passo 3

Sabemos que a soma de todos os valores é R$200,00. Então, vamos somar os cinco termos:
200,00 Então, vamos somar os cinco termos:
Dessa forma, podemos encontrar o valor de (a - 2d) + (a - d) + a + (a + d) + (a + 2d) = 5a = 200 :
Dessa forma, podemos encontrar o valor de
Então, o valor central : é R$40,00.

Passo 4

Agora, vamos identificar as três maiores partes e as duas menores partes:
  • Três maiores partes: a, a + d, a + 2d
  • Duas menores partes: a - 2d, a - d
Segundo o problema, um sétimo da soma das três maiores partes é igual à soma das duas menores partes. Vamos escrever isso em forma de equação:
17 ( (a) + (a + d) + (a + 2d) ) = (a - 2d) + (a - d)
Simplificando:
17 (3a + 3d) = 2a - 3d

Passo 5

Vamos resolver a equação para encontrar o valor de d:
Multiplicando ambos os lados por 7 para eliminar a fração:
3a + 3d = 14a - 21d
Agora, vamos isolar d:
3a - 14a + 3d + 21d = 0 -11a + 24d = 0 24d = 11a d = 11a24
Sabemos que a = 40, então:
d = 11 times 4024 d = 44024 d = 553 d approx 18,33

Passo 6

Agora que temos a = 40 e d approx 18,33, podemos encontrar os valores das cinco partes:
  • a - 2d = 40 - 2 times 18,33 approx 40 - 36,66 = 3,34
  • a - d = 40 - 18,33 approx 21,67
  • a = 40
  • a + d = 40 + 18,33 approx 58,33
  • a + 2d = 40 + 2 times 18,33 approx 40 + 36,66 = 76,66

Resposta

A maior das partes é R 76,66 **A 76,66.**

Exercícios relacionados