(e) O resultado em (d) também vale para conjuntos
de cardinalidade par. Prove esta afirmação.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A pergunta quer que a gente prove que o resultado que obtivemos na parte (d) também funciona para conjuntos
que têm um número par de elementos. Para isso, vamos precisar usar conceitos de combinatória, especificamente sobre contagem de elementos em conjuntos com cardinalidade par.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar qual era o resultado na parte (d). Embora não tenhamos o enunciado completo aqui, geralmente em problemas similares, o resultado pode estar relacionado a alguma propriedade ou contagem específica que vale para conjuntos com um certo tamanho. Nosso objetivo é mostrar que essa propriedade se mantém quando o conjunto
tem um número par de elementos.
Passo 3
Vamos supor que o conjunto
tem
elementos, onde
é um número inteiro positivo. A ideia é usar indução matemática para provar que o resultado de (d) se aplica para qualquer
.
Passo 4
Base da indução: Quando
, ou seja,
tem 2 elementos. Vamos verificar se o resultado de (d) é verdadeiro para este caso simples. Se sim, podemos passar para o próximo passo.
Passo indutivo: Suponha que o resultado valha para um conjunto com
elementos. Agora, queremos mostrar que ele também vale para um conjunto com
elementos. Podemos fazer isso adicionando dois elementos ao conjunto e mostrando que a propriedade ainda se mantém.
Passo 5
Além disso, vamos utilizar a definição de cardinalidade par, que é simplesmente um conjunto com um número de elementos que é múltiplo de 2. Isso garante que podemos sempre dividir o conjunto em pares ou aplicar técnicas de contagem específicas para números pares.
Resposta
Portanto, por indução matemática, provamos que o resultado obtido na parte (d) também é válido para conjuntos
que possuem cardinalidade par.
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Leia cuidadosamente a seguinte prova por indução:
Afirmação: é um número ímpar para todo
.
Prova: Suponha que isso seja verdadeiro para no lugar de n. Provaremos que vale para
. Temos
Afirmação:
Prova: Suponha que isso seja verdadeiro para
Explique:
(a) Por que a afirmação está incorreta?
Leia cuidadosamente a seguinte prova por indução:
Afirmação: é um número ímpar para todo
.
Prova: Suponha que isso seja verdadeiro para no lugar de n. Provaremos que vale para
. Temos
Afirmação:
Prova: Suponha que isso seja verdadeiro para
Explique:
(b) O que está errado na demonstração?