(e) O resultado em (d) também vale para conjuntos de cardinalidade par. Prove esta afirmação.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A pergunta quer que a gente prove que o resultado que obtivemos na parte (d) também funciona para conjuntos que têm um número par de elementos. Para isso, vamos precisar usar conceitos de combinatória, especificamente sobre contagem de elementos em conjuntos com cardinalidade par.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual era o resultado na parte (d). Embora não tenhamos o enunciado completo aqui, geralmente em problemas similares, o resultado pode estar relacionado a alguma propriedade ou contagem específica que vale para conjuntos com um certo tamanho. Nosso objetivo é mostrar que essa propriedade se mantém quando o conjunto tem um número par de elementos.

Passo 3

Vamos supor que o conjunto tem elementos, onde é um número inteiro positivo. A ideia é usar indução matemática para provar que o resultado de (d) se aplica para qualquer .

Passo 4

Base da indução: Quando , ou seja, tem 2 elementos. Vamos verificar se o resultado de (d) é verdadeiro para este caso simples. Se sim, podemos passar para o próximo passo.
Passo indutivo: Suponha que o resultado valha para um conjunto com elementos. Agora, queremos mostrar que ele também vale para um conjunto com elementos. Podemos fazer isso adicionando dois elementos ao conjunto e mostrando que a propriedade ainda se mantém.

Passo 5

Além disso, vamos utilizar a definição de cardinalidade par, que é simplesmente um conjunto com um número de elementos que é múltiplo de 2. Isso garante que podemos sempre dividir o conjunto em pares ou aplicar técnicas de contagem específicas para números pares.

Resposta

Portanto, por indução matemática, provamos que o resultado obtido na parte (d) também é válido para conjuntos que possuem cardinalidade par.

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Júlia está de férias e tem bastante tempo (e dinheiro!). Ela quer fazer um percurso por várias cidades do Brasil, da forma seguinte. Começando de BH, quer visitar as cidades: Salvador, Rio de Janeiro, Belém, Natal, São Paulo, Manaus, Petrópolis e Foz de Iguaçu e retornar a BH no final. De quantas maneiras ela poderá fazer este percurso?
Leia cuidadosamente a seguinte prova por indução:
Afirmação: é um número ímpar para todo .
Prova: Suponha que isso seja verdadeiro para no lugar de n. Provaremos que vale para . Temos
é ímpar pela hipótese de indução. Como é par, então é ímpar.
Explique:
(a) Por que a afirmação está incorreta?
rapazes e garotas saem para dançar. De quantas maneiras eles podem todos dançar simultaneamente? (Assumindo que somente casais de sexo diferente dançam um com o outro)
Leia cuidadosamente a seguinte prova por indução:
Afirmação: é um número ímpar para todo .
Prova: Suponha que isso seja verdadeiro para no lugar de n. Provaremos que vale para . Temos
é ímpar pela hipótese de indução. Como é par, então é ímpar.
Explique:
(b) O que está errado na demonstração?