rapazes e
garotas saem para dançar. De quantas maneiras eles podem todos dançar simultaneamente? (Assumindo que somente casais de sexo diferente dançam um com o outro)
Passo 1
Então, temos
rapazes e
garotas que querem dançar ao mesmo tempo, e cada casal deve ser formado por um rapaz e uma garota. Vamos resolver esse problema usando o conceito de permutation da matemática, que nos ajuda a calcular de quantas maneiras diferentes podemos organizar ou combinar elementos.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em quantos rapazes temos para escolher. Temos
rapazes e precisamos formar casais com
garotas. Para o primeiro rapaz, temos
opções de garotas para dançar.
Passo 3
Depois que o primeiro rapaz escolhe uma garota, restam
garotas para o segundo rapaz. Então, para o segundo casal, temos
opções.
Passo 4
Continuando esse raciocínio, para o terceiro rapaz, restarão
garotas, e assim por diante, até que o último rapaz tenha apenas 1 garota restante para formar o último casal.
Passo 5
Então, para calcular o total de maneiras de formar os casais, multiplicamos todas essas opções:
Aqui,
representa o fatorial de
, que é o produto de todos os números inteiros positivos até
.
Resposta
O número total de maneiras que os
rapazes e
garotas podem dançar simultaneamente é:
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(e) O resultado em (d) também vale para conjuntos
de cardinalidade par. Prove esta afirmação.
Júlia está de férias e tem bastante tempo (e dinheiro!). Ela quer fazer um percurso por várias cidades do Brasil, da forma seguinte. Começando de BH, quer visitar as cidades: Salvador, Rio de Janeiro, Belém, Natal, São Paulo, Manaus, Petrópolis e Foz de Iguaçu e retornar a BH no final. De quantas maneiras ela poderá fazer este percurso?
Leia cuidadosamente a seguinte prova por indução:
Afirmação: é um número ímpar para todo
.
Prova: Suponha que isso seja verdadeiro para no lugar de n. Provaremos que vale para
. Temos
Afirmação:
Prova: Suponha que isso seja verdadeiro para
Explique:
(b) O que está errado na demonstração?
(a) Prove, usando indução que
é um número par para todo
.