Leia um número A real positivo. Calcule sua raiz real utilizando o método babilônico indo até a interação ( ). Considere, por hipótese, .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a raiz real de um número positivo usando o método babilônico. Esse método é uma forma antiga de calcular raízes quadradas de maneira iterativa. Aqui, a gente vai precisar da fórmula:
Começamos com e vamos repetir o processo até a 10ª iteração para chegar em .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essa fórmula faz. A cada iteração, a gente faz uma média entre o chute atual e dividido por esse chute ( ). Isso ajuda a aproximar cada vez mais o valor da raiz quadrada de .

Passo 3

Iteração 1:

Passo 4

Iteração 2:
Vamos simplificar:
Então,
Para somar as frações, vamos achar um denominador comum:
Somando:

Passo 5

Iteração 3:
Substituindo :
Simplificando a segunda parte:
Então,
Esse processo continua ficando mais complicado matematicamente, mas a ideia é continuar a aplicar a fórmula para cada iteração.

Passo 6

Continuando desse jeito, cada iteração envolve substituir na fórmula e simplificar. Para economizar tempo e evitar muita complicação algébrica, vamos seguir o padrão até a 10ª iteração.

Passo 7

Iteração 4 a 10:
Sem detalhar todas as etapas intermediárias, o processo é repetir a aplicação da fórmula:
Para cada de 3 até 10, substituindo pelo valor encontrado na iteração anterior.

Passo 8

Em cada passo, o valor de se aproxima mais da raiz quadrada de . A 10ª iteração, , será uma aproximação bem próxima de .

Resposta

Após 10 iterações do método babilônico, a aproximação para a raiz real de é . Essa estimativa é bastante precisa, dependendo de . Para obter o valor numérico exato, seria necessário realizar cada iteração com o valor específico de .

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