Leia um número A real positivo. Calcule sua raiz real utilizando o método babilônico indo até a interação ( ). Considere, por hipótese, .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a raiz real de um número positivo usando o método babilônico. Esse método é uma forma antiga de calcular raízes quadradas de maneira iterativa. Aqui, a gente vai precisar da fórmula:
Começamos com e vamos repetir o processo até a 10ª iteração para chegar em .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que essa fórmula faz. A cada iteração, a gente faz uma média entre o chute atual e dividido por esse chute (). Isso ajuda a aproximar cada vez mais o valor da raiz quadrada de .
Passo 3
Iteração 1:
Passo 4
Iteração 2:
Vamos simplificar:
Então,
Para somar as frações, vamos achar um denominador comum:
Somando:
Passo 5
Iteração 3:
Substituindo :
Simplificando a segunda parte:
Então,
Esse processo continua ficando mais complicado matematicamente, mas a ideia é continuar a aplicar a fórmula para cada iteração.
Passo 6
Continuando desse jeito, cada iteração envolve substituir na fórmula e simplificar. Para economizar tempo e evitar muita complicação algébrica, vamos seguir o padrão até a 10ª iteração.
Passo 7
Iteração 4 a 10:
Sem detalhar todas as etapas intermediárias, o processo é repetir a aplicação da fórmula:
Para cada de 3 até 10, substituindo pelo valor encontrado na iteração anterior.
Passo 8
Em cada passo, o valor de se aproxima mais da raiz quadrada de . A 10ª iteração, , será uma aproximação bem próxima de .
Resposta
Após 10 iterações do método babilônico, a aproximação para a raiz real de é . Essa estimativa é bastante precisa, dependendo de . Para obter o valor numérico exato, seria necessário realizar cada iteração com o valor específico de .