Let and .
(b) Find (i) the length of , (ii) the angle between and , and (iii) the projection of on .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois vetores:
A parte (b) da questão pede para a gente:
  1. Encontrar o comprimento (ou magnitude) de .
  2. Determinar o ângulo entre e .
  3. Calcular a projeção de sobre .
Para isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de álgebra vetorial, como a magnitude de um vetor, o produto escalar (ou dot product) e a fórmula de projeção. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

(i) Encontrar o comprimento de .
O comprimento de um vetor, também chamado de magnitude, é calculado usando a fórmula:
onde , e são as componentes do vetor .
Vamos aplicar isso ao nosso vetor :
Então, o comprimento de é .

Passo 3

(ii) Determinar o ângulo entre e .
Para encontrar o ângulo entre dois vetores, usamos a fórmula do produto escalar:
onde é o ângulo entre os vetores.
Primeiro, vamos calcular o produto escalar :
Em seguida, precisamos da magnitude de :
Agora, podemos isolar :
Para encontrar o ângulo , usamos a função arco-cosseno:
Calculando isso, o ângulo entre e é aproximadamente .

Passo 4

(iii) Calcular a projeção de sobre .
A projeção de um vetor sobre outro vetor é dada pela fórmula:
Já calculamos o produto escalar e a magnitude de , então .
Substituindo na fórmula:
Então, a projeção de sobre é:

Resposta

  1. O comprimento de é .
  2. O ângulo entre e é aproximadamente .
  3. A projeção de sobre é .

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Verify the following properties of the transpose when
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