Let x^prime=[lll5, & 1, & 3] and y^prime=[lll-1, & 3, & 1].
(b) Find (i) the length of x, (ii) the angle between x and y, and (iii) the projection of y on x.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois vetores:
x = 5 1 3 e y = -1 3 1
A parte (b) da questão pede para a gente:
  1. Encontrar o comprimento (ou magnitude) de .
  2. Determinar o ângulo entre e .
  3. Calcular a projeção de sobre .
Para isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de álgebra vetorial, como a magnitude de um vetor, o produto escalar (ou dot product) e a fórmula de projeção. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

(i) Encontrar o comprimento de |x| = raizx1^2 + x2^2 + x3^2 .
O comprimento de um vetor, também chamado de magnitude, é calculado usando a fórmula:
|x| = raiz5^2 + 1^2 + 3^2 = raiz25 + 1 + 9 = raiz35
onde , e são as componentes do vetor .
Vamos aplicar isso ao nosso vetor :
Então, o comprimento de é .

Passo 3

(ii) Determinar o ângulo entre x cdot y = |x| cdot |y| cdot cos(theta) e x cdot y = (5)(-1) + (1)(3) + (3)(1) = -5 + 3 + 3 = 1 .
Para encontrar o ângulo entre dois vetores, usamos a fórmula do produto escalar:
|y| = raiz(-1)^2 + 3^2 + 1^2 = raiz1 + 9 + 1 = raiz11
onde cos(theta) = x cdot y|x| cdot |y| = 1raiz35 cdot raiz11 = 1raiz385 é o ângulo entre os vetores.
Primeiro, vamos calcular o produto escalar theta = arccos(1raiz385) :
Em seguida, precisamos da magnitude de :
Agora, podemos isolar :
Para encontrar o ângulo , usamos a função arco-cosseno:
Calculando isso, o ângulo entre e é aproximadamente .

Passo 4

(iii) Calcular a projeção de Projx y = ( x cdot y|x|^2 ) x sobre Projx y = ( 135 ) 5 1 3 = 535 135 335 = 17 135 335 .
A projeção de um vetor Projx y = 17 135 335 sobre outro vetor é dada pela fórmula:
Já calculamos o produto escalar e a magnitude de , então .
Substituindo na fórmula:
Então, a projeção de sobre é:

Resposta

  1. O comprimento de 17 135 335 é .
  2. O ângulo entre e é aproximadamente .
  3. A projeção de sobre é .

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