Verify the following properties of the transpose when
A=[ll 2 & 1 1 & 3 ], B=[lll 1 & 4 & 2 5 & 0 & 3 ], and C=[ll 1 & 4 3 & 2 ]
© (A B)^prime=B^prime A^prime

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte © do exercício que pede para verificar se . Aqui, a gente vai lidar com matrizes e a operação de transposição. Precisamos calcular o produto das matrizes e , depois transpor esse resultado. Também vamos transpor separadamente e e multiplicar essas transpostas para ver se os resultados são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular A = 2 & 1 1 & 3 , B = 1 & 4 & 2 5 & 0 & 3 . As matrizes são:
A B = 7 & 8 & 7 16 & 4 & 11
Para multiplicar (2x2) por (2x3), usamos a regra de multiplicação de matrizes: o elemento na posição (i,j) de é a soma dos produtos dos elementos da linha i de com os elementos da coluna j de .
Vamos fazer isso passo a passo:
  • Elemento (1,1):
  • Elemento (1,2):
  • Elemento (1,3):
  • Elemento (2,1):
  • Elemento (2,2):
  • Elemento (2,3):
Então, o produto fica:

Passo 3

Agora, vamos transpor (A B)^prime = 7 & 16 8 & 4 7 & 11 , ou seja, calcular . A transposição de uma matriz troca suas linhas por colunas.
Transpondo :

Passo 4

Vamos calcular B^prime = 1 & 5 4 & 0 2 & 3 , A^prime = 2 & 1 1 & 3 . Primeiro, transponha B^prime A^prime = 7 & 16 8 & 4 7 & 11 e :
Agora, multiplicamos (3x2) por (2x2):
  • Elemento (1,1):
  • Elemento (1,2):
  • Elemento (2,1):
  • Elemento (2,2):
  • Elemento (3,1):
  • Elemento (3,2):
Então, o produto fica:

Resposta

Vemos que é igual a . Portanto, a propriedade está verificada.

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