Levanta-se uma amostra de 10 observações de uma população normal com variância 160 , obtendo-se
. Determinar os IC para a média
aos níveis de
e
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma amostra de 10 observações retiradas de uma população que segue uma distribuição normal com variância igual a 160. A soma dessas observações é 2.300. O objetivo é determinar os Intervalos de Confiança (IC) para a média
com níveis de confiança de 20% e 10%.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística inferencial, especificamente os intervalos de confiança para a média quando a variância populacional é conhecida.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média amostral (
). Sabemos que a soma das observações é 2.300 e o número de observações é 10. A fórmula para a média amostral é:
Substituindo os valores:
Então, a média amostral é 230.
Passo 3
Agora, precisamos determinar o erro padrão da média. Como a variância populacional (
) é conhecida e igual a 160, o desvio padrão populacional (
) é:
O erro padrão (
) da média é calculado pela fórmula:
Onde
:
Passo 4
Com a média amostral e o erro padrão calculados, podemos agora determinar os Intervalos de Confiança para
nos níveis desejados. Usaremos a distribuição normal padrão
para isso.
A fórmula geral para o intervalo de confiança é:
Onde
é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado.
Passo 5
Vamos calcular o IC para o nível de confiança de 20%. Primeiro, identificamos o valor de
correspondente. Como a confiança é de 20%, a área de cada cauda é de 40%. Consultando a tabela da distribuição normal, o valor de
para 10% em cada cauda (já que 20% de confiança significa que 80% estão nas caudas) é aproximadamente
.
Aplicando na fórmula:
Passo 6
Agora, vamos calcular o IC para o nível de confiança de 10%. Para 10% de confiança, a área de cada cauda é de 45%. O valor de
correspondente é aproximadamente
.
Aplicando na fórmula:
Resposta
Os Intervalos de Confiança para a média
são:
- 20% de confiança:
- 10% de confiança: