Levanta-se uma amostra de 10 observações de uma população normal com variância 160 , obtendo-se sumi=1^10 xi=2.300. Determinar os IC para a média mu aos níveis de 20 % e 10 %.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma amostra de 10 observações retiradas de uma população que segue uma distribuição normal com variância igual a 160. A soma dessas observações é 2.300. O objetivo é determinar os Intervalos de Confiança (IC) para a média com níveis de confiança de 20% e 10%.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística inferencial, especificamente os intervalos de confiança para a média quando a variância populacional é conhecida.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média amostral ( barx = sumi=1^n xin ). Sabemos que a soma das observações é 2.300 e o número de observações é 10. A fórmula para a média amostral é:
barx = 230010 = 230
Substituindo os valores:
Então, a média amostral é 230.

Passo 3

Agora, precisamos determinar o erro padrão da média. Como a variância populacional ( sigma = raiz160 approx 12,6491 ) é conhecida e igual a 160, o desvio padrão populacional ( SE = sigmaraizn ) é:
SE = 12,6491raiz10 approx 12,64913,1623 approx 4
O erro padrão ( ) da média é calculado pela fórmula:
Onde :

Passo 4

Com a média amostral e o erro padrão calculados, podemos agora determinar os Intervalos de Confiança para IC = barx pm Z times SE nos níveis desejados. Usaremos a distribuição normal padrão para isso.
A fórmula geral para o intervalo de confiança é:
Onde é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado.

Passo 5

Vamos calcular o IC para o nível de confiança de 20%. Primeiro, identificamos o valor de IC20% = 230 pm 1,28 times 4 correspondente. Como a confiança é de 20%, a área de cada cauda é de 40%. Consultando a tabela da distribuição normal, o valor de IC20% = 230 pm 5,12 para 10% em cada cauda (já que 20% de confiança significa que 80% estão nas caudas) é aproximadamente IC20% = [224,88 ; 235,12] .
Aplicando na fórmula:

Passo 6

Agora, vamos calcular o IC para o nível de confiança de 10%. Para 10% de confiança, a área de cada cauda é de 45%. O valor de IC10% = 230 pm 1,65 times 4 correspondente é aproximadamente IC10% = 230 pm 6,6 .
Aplicando na fórmula:
IC10% = [223,4 ; 236,6]

Resposta

Os Intervalos de Confiança para a média são:
  • 20% de confiança:
  • 10% de confiança:

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